Demuestre que una ecuación diferencial satisface la condición de Lipschitz

Question

Demostrar que si $$\frac{dx}{dt}=(3t^2+1)\cos^2(x)+(t^2-2t)\sin (2x)=f(t,x),$$ entonces $f(t,x)$ satisface la condición de Lipschitz en la franja $S_{\alpha}=\{(t,x):|t|\le\alpha , |x|\le \infty , \alpha >0\}$ .

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Puedo obtener ayuda para el problema anterior, por favor.

Answer 1

Para demostrar que una función es Lipschitz en $S_\alpha$ basta con comprobar que sus derivadas parciales están acotadas en $S_\alpha$ . Ver Las derivadas parciales limitadas implican continuidad

Aquí $f_x = -(3t^2+1)\sin 2x+2(t^2-2t)\cos 2x$ y $f_t=6t\cos^2x+(2t-2)\sin 2x$ . Estimar el valor absoluto de cada derivada utilizando (a) la desigualdad del triángulo; (b) el hecho de que el seno y el coseno están limitados por $1$ (c) el límite dado $|t|\le \alpha$ .

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Por cierto, si sólo quieres aplicar el teorema de unicidad/existencia, entonces sólo la condición de Lipschitz en $x$ es necesario. Para el $t$ variable, basta con la continuidad.