Acción del grupo de Galois sobre el conjunto de generadores

Question

Dejemos que $k\subset K$ sea una extensión de Galois, es decir $$K=\langle{\xi}_{1}, {\xi}_{2},\ldots, {\xi}_{n}\rangle,$$ $$k\supset K=\{a_0+a_1{\xi}_{1}+\ldots+a_n{\xi}_{n}|a_0,\ldots,a_n\in k\}.$$ ¿Es cierto que $$\forall i~~\exists j:\sigma({\xi}_{i})={\xi}_{j},$$ donde $\sigma$ es cualquier elemento de $\operatorname{Gal}{(K,k)}$ . En otras palabras, ¿es cierto que los elementos de $\operatorname{Gal}{(K,k)}$ reubicar los generadores de $K$ ?

Gracias.

Answer 1

Creo que estás preguntando si el grupo de Galois de una extensión de Galois finita $L/K$ debe permutar un determinado $K$ -base $\xi_1,\ldots,\xi_n$ de $L$ . La respuesta es no: por ejemplo, tome $K = \mathbb{Q}$ , $L = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y la base $\xi_1 = 1$ , $\xi_2 = \sqrt{2}$ .

Sin embargo, el Teorema de la base normal dice que siempre se puede encontrar algunos $K$ -base de $L$ sobre el que actúa el grupo de Galois mediante permutaciones. En el ejemplo anterior, tomando por ejemplo $\xi_1 = 1 + \sqrt{2}$ , $\xi_2 = 1 -\sqrt{2}$ funcionará.

Answer 2

Esto no es cierto. Toma $k=\mathbb{Q}$ y $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ . Entonces $K/k$ es de Galois, pero no hay ningún elemento de Galois que tome $\sqrt{2}$ a $\sqrt{3}$ .