Para encontrar la función de densidad de probabilidad

Question

He hecho este problema de dos maneras y obtengo dos respuestas diferentes.

A continuación le facilito el enlace a la imagen.

https://drive.google.com/file/d/1acToL8QBVq05mTQ9t7TgHgedremJdydA/view?usp=drivesdk

Para la función de densidad de probabilidad $$ f(x)=\begin{cases} 20x(1-x)^3, & 0<x<1 \\ 0, & \text{elsewhere} \end{cases} $$ encontrar $P\bigl(x<\frac{1}{2}\bigr)$ .

Método A

\begin {align} P \Bigl (x< \frac {1}{2} \Bigr ) &= \int_0 ^{1/2} 20x(1-x^3)\N-, dx \\ &= 20 \int_0 ^{1/2} (1-x)x^3,dx \\ &= \frac {13}{16} \end {align}

Método B

Para la distribución continua $P\bigl(x<\frac{1}{2}\bigr)=P\bigl(x\le\frac{1}{2}\bigr)$ así que \begin {align} P \Bigl (x< \frac {1}{2} \Bigr ) &= f \Bigl ( \frac {1}{2} \Bigr ) \\ &= 20 \Bigl ( \frac {1}{2} \Bigr ) \Bigl (1- \frac {1}{2} \Bigr )^3 \\ &= \frac {10}{8} \end {align}

Answer 1

El primer método es el correcto. En el segundo método has confundido la función de densidad $f$ con la función de distribución acumulativa $F$ . $P\{X\leq \frac 1 2\}=F(\frac 1 2)$ que no es lo mismo que $f(\frac 1 2)$ .