Demostrar que $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos\theta+r^2}d\theta=1$

Question

Dejemos que $C=\{z:|z|=r|\}$ con $r<R$ orientado en sentido +. calcule:

$$\int_{C}\frac{R+z}{z(R-z)}dz$$

y deducir que

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos\theta+r^2}d\theta=1$$

Mi intento He demostrado que $$\int_{C}\frac{R+z}{z(R-z)}dz=2\pi i$$ Usando el teorema del residuo porque el residuo de la función es $a_{-1}=1$ y la función tienen un simple polo en $z=0$ .

Para la otra parte estoy un poco atascado, ¿puede alguien ayudarme?

Answer 1

Sugerencia

Usted tiene

$$\begin{aligned}2 i \pi = \int_{C}\frac{R+z}{z(R-z)}dz &= i\int_0^{2\pi}\frac{R+e^{i \theta}}{re^{i \theta}(R-e^{i \theta})}re^{i \theta}d\theta\\ &= i\int_0^{2\pi}\frac{(R+re^{i \theta})(R-re^{-i \theta})}{R^2-2Rr\cos\theta+r^2}d\theta\\ &= i\int_0^{2\pi}\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos\theta+r^2}d\theta -2\int_0^{2\pi}\frac{rR \sin \theta}{R^2-2Rr\cos\theta+r^2}d\theta \end{aligned}$$ utilizando la parametrización $\theta \mapsto re^{i \theta}$ de $C$ , $\cos \theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2}$ y $\sin \theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i}$ .

Y la última integral desaparece como $\sin$ es un mapa impar.

Answer 2

Definir : \begin {alineado} f: \mathbb {C} \setminus\left\lbrace\frac {R}{r}, \frac {r}{R} \right\rbrace & \rightarrow\mathbb {C} \\ z& \mapsto\frac {R^{2}-r^{2}}{ \left (R-rz \right ) \left (Rz-r \right )} \end {alineado}

Desde $ r<R $ el teorema del residuo nos permite escribir : $$ \oint_{\left|z\right|=1}{f\left(z\right)\mathrm{d}z}=2\pi\,\mathrm{i}\,\mathrm{Res}\left(f,\frac{r}{R}\right) $$

Cálculo del residuo : $ \mathrm{Res}\left(f,\frac{r}{R}\right)=\lim\limits_{z\to \frac{r}{R}}\left(z-\frac{r}{R}\right)f\left(z\right)=\lim\limits_{z\to\frac{r}{R}}{\frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}-rRz}}=1 $ , ajuste $ z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\theta} $ da lo siguiente : $$ \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\theta}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\theta}\,\mathrm{d}\theta}=1 $$

Desde $ f\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\theta}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\theta}=\frac{R^{2}-r^{2}}{\left(R-r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\theta}\right)\left(R-r\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,\theta}\right)}=\frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2rR\cos{\theta}+r^{2}} $ , obtenemos : $$ \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{\frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2rR\cos{\theta}+r^{2}}\,\mathrm{d}\theta}=1 $$