Tengo una preocupación con los cuantificadores anidados.
Lo he hecho: $$ \forall x \exists y \forall z(x^2-y+z=0) $$ tal que $$ x,y,z \in \Bbb Z^+$$
Mi primera pregunta, se puede leer así:
$$ \forall x \forall z \exists y(x^2-y+z=0) $$
La forma en que lo hice, es que empecé con $x=1, z=1 $
$$ 2-y = 0 $$ $$ y =2 $$
¿Es este un buen enfoque?
No, no se puede intercambiar el $\exists y$ y $\forall z$ Al hacerlo, cambia el significado de la declaración. La declaración original,
$$\forall x\exists y\forall z\left(x^2-y+z=0\right)$$
dice que no importa qué número entero positivo $x$ que elijas, puedo encontrar un $y\in\Bbb Z^+$ tal que $x^2-y+z=0$ sin importar el número entero positivo $z$ tú eliges . Por ejemplo, si elige $x=1$ puedo encontrar algún número entero positivo $y$ tal que $1-y+z=0$ para cada número entero positivo $z$ . Desde $1-y+z=0$ si y sólo si $z=y-1$ esto es claramente falso: no importa lo que $y$ Yo elijo, tú puedes elegir por $z$ cualquier número entero positivo excepto $y-1$ y asegurar que $x^2-y+z$ es no $0$ .
La declaración modificada
$$\forall x\forall z\exists y\left(x^2-y+z=0\right)\;,$$
por otro lado, dice algo muy diferente: dice que no importa qué enteros positivos elijas para $x$ y $z$ puedo encontrar un entero positivo $y$ tal que $x^2-y+z=0$ . Y claro que puedo: Acabo de elegir $y=x^2+z$ .
Dado que una afirmación es verdadera y la otra falsa, ciertamente no pueden ser equivalentes.
La frase original dice que para cualquier $x$ Hay un $y$ , de tal manera que lo que sea $z$ elegimos, tenemos $x^2-y+z=0$ .
Así que el $y$ tiene que funcionar para todos $z$ . Pero eso es imposible. Si funciona para $z=1000$ no se puede hacer para el resto de los casos. $z$ . La frase es (muy) falsa.
Nosotros no puede intercambiar los cuantificadores $\forall$ y $\exists$ sin alterar el sentido de la frase.
Considere $$\forall y. \exists x. x\text{ is the mother of }y$$ significa que por cada persona $y$ Hay alguna persona $x$ que es $y$ de la madre, lo cual es cierto; toda persona tiene una madre. Pero $$\exists x.\forall y. x\text{ is the mother of }y$$ dice que hay alguna persona $x$ para que por cada persona $y$ , $x$ es $y$ La madre de todos, lo cual es falso; no hay ninguna persona que sea la madre de todos.
El orden es importante.
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