Para todos $x,y\in\mathbb{R}, \quad \sin{(x)}+\sin{(y)}$ es igual a...

Question

Pregunta: Para todos $x,y\in\mathbb{R}, \quad \sin{(x)}+\sin{(y)}$ es igual a

a) $\quad 2\sin{\left(\frac{x+y}{2}\right)}\cos{\left(\frac{x-y}{2}\right)};$

b) $\quad 2\sin{\left(\frac{x-y}{2}\right)}\cos{\left(\frac{x+y}{2}\right)};$

c) $\quad 2\sin{\left(\frac{x+y}{2}\right)}\sin{\left(\frac{x-y}{2}\right)};$

c) $\quad 2\cos{\left(\frac{x+y}{2}\right)}\cos{\left(\frac{x-y}{2}\right)}.$

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Sé que se puede utilizar la fórmula del producto de las funciones trigonométricas para encontrar la respuesta correcta. Pero si uno se olvida de esta fórmula y no tiene tiempo de deducirla durante un examen, ¿se puede asumir simplemente que $x=y=\pi/4 \Longrightarrow \sin{x}+\sin{y}=2\sin{x}=2\sin{(\pi/4)}=\sqrt{2}$ porque no hay restricciones dadas en $x$ ni $y$ en $\mathbb{R}$ ?

Así que, lógicamente, debería funcionar lo siguiente: sustituyendo $x=y=\pi/4$ en cada respuesta y simplificando, la expresión que es igual a $\sqrt{2}$ es la respuesta correcta. Sin embargo, cuando hago esto, siempre obtengo cero en cada una.

EDITAR: Lo siento chicos, se suponía que era $\sin{(x)}+\sin{(y)}.$ Lo he editado ahora.

Answer 1

Sí, es cierto que esto funcionará, con $\frac{\pi}{4}$ o cualquier otro valor elegido. Aunque hay que tener en cuenta que la lógica sólo funciona en un sentido: cualquier opción que no dé la respuesta correcta es incorrecta; sin embargo, las opciones que dan la respuesta correcta pueden seguir siendo incorrectas.

Con $x = y = \frac{\pi}{4}$ :

• Valor correcto [de $\sin(x)+\cos(y)$ ] es $\sqrt{2}$ como tú dices.
• (a) produce $2\sin(\frac{\pi}{4})\cos(0) = 2\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times1 = \sqrt{2}$ .
• (b) produce $2\sin(0)\cos(\frac{\pi}{4}) = 0 $
• (c) produce $2\sin(\frac{\pi}{4})\sin(0) = 0 $
• (d) produce $2\cos(\frac{\pi}{4})\cos(0) = 2\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times1 = \sqrt{2} $

Así que hemos eliminado (b) y (c).

Con $x = y = \pi$ el valor correcto es -1. (a) da como resultado $2\sin(\pi)\cos(0) = 0$ mientras que (d) da como resultado $2\cos(\pi)\cos(0) = -2$ Así que ninguno de los dos parece ser correcto.

Así que, de hecho, ninguna de las opciones es equivalente a $\sin(x) + \cos(y)$ .

EDITAR : Así que la pregunta debe decir $\sin(x) + \sin(y)$ . En ese caso, el $\frac{\pi}{4}$ ejemplo sigue siendo exactamente el mismo, ya que $\sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ por lo que podemos eliminar (b) y (c). Para decidir entre (a) y (d), quizá el ejemplo más sencillo sea $x = y = 0$ : el valor correcto es 0; (a) se evalúa como $2\times 0 \times 1 = 0$ mientras que (d) es $2\times1\times1 = 2$ por lo que (d) es claramente incorrecta. Esto deja sólo (a).

Sólo para reiterar el punto de la lógica unidireccional: esto significa que podemos concluir que (a) es una identidad si y sólo si es seguro asumir que exactamente una de las respuestas es correcta (por ejemplo, si está implícito en la estructura de un examen de elección múltiple). Si la pregunta requiriera una prueba, ningún número de ejemplos sería suficiente, y habría que recurrir a métodos como la derivación a partir de la fórmula del producto.

Answer 2

$y = \sin(x) + \sin(y)$

Intentemos excluir opciones.

1) $x \rightarrow y$ y $y \rightarrow x$ .

$y= \sin(y) + \sin(x)$ no ha cambiado.

b) y c) cambiar de signo, excluir.

Sólo quedan a) y d);

2) $x \rightarrow -x$ y $y \rightarrow -y$ .

$y = \sin(-x) + \sin(-y) =$

$ - \sin(x) - \sin(y)$ ,

la expresión cambia de signo .

Excluido d) ( sin cambio de signo), permanece

opción a).

Última comprobación: $ x= y$ :

$y = 2\sin(x)$ .

Opción a) : $2\sin(x)$ .

Suponiendo que una de las opciones dadas sea correcta para $x,y \in \mathbb{R}$ :

Es a).

Answer 3

No, porque para $x=y=\frac{\pi}{4}$ la primera y la última fórmula producen el mismo resultado de $\sqrt{2}$ . En esta situación se podría intentar $x=y=\frac{\pi}{2}$ que apunta de forma única a la primera fórmula.

Consejos: Debes recordar las fórmulas de adición para derivar las fórmulas de multiplicación: $$\sin{x}+\sin{y}=\sin{(a+b)}+\sin{(a-b)}=2\sin{a}\cos{b}=2\sin{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}.$$ Lo mismo ocurre con los demás.