Valor esperado del máximo de dos variables aleatorias logarítmicas con una fuente de aleatoriedad

Question

Tenemos dos variables aleatorias $X$ y $Y$ que se distribuyen con normalidad logarítmica, con parámetros adecuados, ¿cuál es el valor esperado para $\max(X,Y)$ ?

Dada,

$$ X=e^{\mu+\sigma Z};\quad Y=e^{\nu+\tau Z};\quad Z\sim N(0,1) $$

Tenemos que encontrar una expresión para $$E[\text{max}(X,Y)]$$

$X,Y$ son dibujos independientes.

Por favor, tenga en cuenta que he llegado al siguiente paso, pero no estoy seguro de cómo seguir adelante.

Pasos intentados

\begin {eqnarray*} E \left [ \max\left (X,Y \right ) \right ]= \int_ {0}^{ \infty }xf_{Y} \left (x \right )F_{X} \left (x \right )dx+ \int_ {0}^{ \infty }yf_{X} \left (y \right )F_{Y} \left (y \right )dy \end {eqnarray*} \begin {eqnarray*} \int_ {0}^{ \infty }xf_{Y} \left (x \right )F_{X} \left (x \right )dx{ \displaystyle = \int_ {0}^{ \infty } \frac {1}{ \tau } \phi\left ( \frac { \ln x- \nu }{ \tau } \right )} \Phi\left ( \frac { \ln x- \mu }{ \sigma } \right )dx \end {eqnarray*} \begin {eqnarray*} { \displaystyle = \int_ {0}^{ \infty } \frac {1}{ \tau } \phi\left ( \frac { \ln x- \nu }{ \tau } \right )} \Phi\left ( \frac { \ln x- \mu }{ \sigma } \right )dx \quad\text {, Sustitución }u= \left ( \frac { \ln x- \nu }{ \tau } \right ) \Rightarrow du= \frac {1}{x \tau }dx \end {eqnarray*} \begin {eqnarray*} { \displaystyle = \int_ {- \infty }^{ \infty }e^{u \tau + \nu } \phi\left (u \right )} \Phi\left ( \frac {u \tau + \nu - \mu }{ \sigma } \right )du \end {eqnarray*} \begin {eqnarray*} { \displaystyle =e^{ \nu } \int_ {- \infty }^{ \infty }e^{u \tau } \phi\left (u \right )} \Phi\left ( \frac {u \tau + \nu - \mu }{ \sigma } \right )du \end {eqnarray*}

Pregunta relacionada

Tenga en cuenta que la presente pregunta está mal formulada debido a mis limitados conocimientos, pero aun así ofrece una solución interesante e instructiva. El caso más general se ha convertido en una nueva pregunta:

Valor esperado del máximo de dos variables aleatorias logarítmicas

Answer 1

Si $\sigma = \tau$ entonces \begin {align*} E( \max (X, Y)) &= E \left (e^{ \sigma Z} \max\big (e^{ \mu }, e^{ \nu } \big ) \right ) \\ &=e^{ \frac {1}{2} \sigma ^2} \max\big (e^{ \mu }, e^{ \nu } \big ). \end {align*}

WLOG, suponemos que $\sigma < \tau$ abajo. Dejemos que $\lambda = \frac{\mu-\nu}{\tau-\sigma}$ . Entonces, \begin {align*} E( \max (X, Y)) &= E \left ( \mathbb {I}_{Z \le \lambda } X + \mathbb {I}_{Z > \lambda } Y \right ) \\ &= \frac {1}{ \sqrt {2 \pi }} \int_ {- \infty }^{ \lambda } e^{ \mu + \sigma x - \frac {1}{2}x^2} dx + \frac {1}{ \sqrt {2 \pi }} \int_ { \lambda }^{ \infty } e^{ \nu + \tau x - \frac {1}{2}x^2} dx. \end {align*} Lo que queda es un cálculo rutinario.