En qué espacios, $F$ es irreducible si $F=\overline{\{x\}}$ , para todos los cerrados $F$ ?

Question

Me pregunto qué espacios $X$ cumplen la siguiente condición:

Para cualquier tipo de cierre $F\subseteq X$ , $F$ es irreducible si y sólo si $F=\overline{\{x\}}$ para algunos $x\in X$ .

Dónde $F$ es irreducible si y sólo si para todos los conjuntos cerrados $F_1,F_2$ tal que $F\subseteq F_1\cup F_2$ tenemos que $F\subseteq F_1$ o $F\subseteq F_2$ .

Gracias.

Answer 1

Un punto $x\in F$ cuyo cierre es $F$ se llama punto genérico de $F$ (nótese que el cierre de un subespacio irreducible de un espacio topológico es siempre irreducible). Un espacio topológico sobrio es aquel en el que cada subconjunto cerrado irreducible tiene un único punto genérico. Cualquier espacio de este tipo tiene la propiedad por la que preguntas (la existencia de un punto genérico para cada subconjunto cerrado irreducible). Los esquemas (por ejemplo, los espectros de los anillos) son sobrios.

La unicidad en la definición de sobriedad equivale a exigir que para puntos distintos $x\neq y$ en el espacio, hay una vecindad de $x$ que no contenga $y$ o un barrio de $y$ que no contenga $x$ (Creo que esto se llama $T_0$ o Kolmogorov); más sucintamente, $\overline{\{x\}}\neq\overline{\{y\}}$ . La topología indiscreta sobre un conjunto con dos elementos $X=\{x,y\}$ es tal que todo conjunto cerrado irreducible tiene un punto genérico, pero el punto genérico no es único (el espacio no es $T_0$ ). Así que este es otro ejemplo de un espacio que tiene la propiedad que pides, pero que no es sobrio.

No estoy seguro de lo que se puede decir de forma más general sobre los espacios que satisfacen su condición.