Obtención de la ecuación diferencial a partir de sus soluciones.

Question

Encuentre una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes satisfecha por todas las funciones dadas. $u_1(x) = x^2$ , $u_2(x) = e^x$ , $u_3(x) = xe^x$ .

¿Cómo puedo proceder con esto? Sé que 1 es una raíz dos veces repetida de la ecuación característica, pero ¿qué puedo decir de $x^2$ ? Si $1$ y $x$ también se dan como soluciones, podría haber afirmado que 0 es una raíz tres veces repetida de la ecuación característica. ¿Puedo seguir haciéndolo o hay una ED de tercer orden que satisfaga todas las funciones?

Answer 1

''Sé que $1$ es una raíz dos veces repetida de la ecuación característica''

Así que sabes que $k=1$ resuelve la ecuación característica $ak^2 + bk + c =0$ . Entonces, podría tener, por ejemplo $a = 1, b = -2, c = 1$ . Como la ecuación característica corresponde directamente a la SODE lineal homogénea, tenemos

\begin {ecuación} y'' - 2y' + y = 0 \end {Ecuación}

Esto tiene la solución complementaria : \begin {ecuación} y(x) = C_1e^x + C_2xe^x \end {Ecuación} Para que coincida con su solución dada $u_2(x) = e^x$ y $u_3(x) = xe^x$ es necesario lanzar una condición inicial como $y(0) = 3$ y $y'(0) = \pi$ o algo así para que $C_1 = C_2 = 1$ . Esto es fácil, te dejaré hacerlo.

Lo complicado es cómo conseguir el solución particular para ser $u_3(x) = x^2$ ?

Si quieres $u_3(x) = x^2$ para ser una solución particular, tiene que resolver

\begin {ecuación} y'' - 2y' + y = \text {algo} \end {Ecuación} Bueno, olvidémonos de la algo y sólo nos centramos en el LHS. Supongamos que $y = x^2$ . Entonces, $y' = 2x$ y $y'' = 2$ . Introduciendo esto en el LHS tenemos:

\begin {ecuación} y'' - 2y' + y = x^2 - 4x + 2 \end {Ecuación}

Resulta que $x^2 - 4x + 2$ es el algo parte que necesitábamos. Así que, de hecho, la última ecuación anterior es una SODE lineal que $u_1, u_2$ y $u_3$ se satisface. Por supuesto, todavía necesitas la condición inicial.