Tengo una función $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ dado en coordenadas polares por $f(r,\theta) = (r,\theta + k)$ y quiero calcular si preserva el volumen (es decir, el determinante del jacobiano es $+1$ o $-1$ ).
¿Puedo calcular las derivadas parciales de esta función como si estuviera dada en coordenadas euclidianas? ¿O tengo que componerla con transformaciones de coordenadas y luego calcular el determinante del jacobiano de la función compuesta?
La transformación es simplemente una rotación por ángulo $k$ sobre el origen. Una rotación es una isometría, por lo que preserva el área.
Más concretamente, se trata de la transformación dada por $$\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\mapsto\left[\begin{array}{cc}\cos k & \sin k\\- \sin k & \cos k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right].$$
La respuesta a tu pregunta es "Sí". Cuando calculas la matriz jacobiana, sólo tienes la matriz identidad, que tiene determinante 1.
"Preservar el volumen" es una propiedad de la transformación, y no de ningún sistema de coordenadas en el que la escribas, por lo que deberías esperar que el mismo método funcione en todos los sistemas de coordenadas admisibles.
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