Modelo de ruina del jugador

Question

En el modelo de la ruina del jugador, $X_n$ es la fortuna de un jugador después de la $n^{th}$ juego, al hacer apuestas de 1 dólar en cada juego.

Además, en el caso de los fijos $0<p<1$ podemos encontrar variables aleatorias $\{Z_i\}$ que son i.i.d. con $P(Z_i=1)=p$ y $P(Z_i=-1)=1-p$ . Por lo tanto, podemos establecer $$X_n=a+Z_1+Z_2+...Z_n$$ con $X_0 = a$ .

Supongamos que $0<a<c$ y que $\tau_0=\inf\{n\ge0:X_n=0\}$ y $\tau_c=\inf\{n\ge0:X_n=c\}$ sea el primer tiempo de golpeo de $0$ y $c$ respectivamente.

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La pregunta es,

Para el modelo de ruina del jugador mencionado anteriormente, dejemos que $\beta_n=P(min(\tau_0,\tau_c)>n)$ sea la probabilidad de que la fortaleza del jugador no haya golpeado $0$ o $c$ por tiempo $n$ .

(a) Encuentre cualquier expresión explícita y sencilla $\gamma_n$ tal que $\beta_n<\gamma_n$ para todos $n \in N$ y tal que $\lim_{n \to \infty}\gamma_n=0$ .

(b) Además, encuentre cualquier expresión explícita y sencilla $\alpha_n$ tal que $\beta_n>\alpha_n>0$ para todos $n \in N$ .

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No tengo ni idea de por dónde empezar a buscar $\gamma_n$ que es mayor que $\beta_n$ para todos $n$ .

Para (b), pensé en $\alpha_n=P(\tau_0>n)$ , la probabilidad de que la fortuna del jugador no acierte $0$ por tiempo $n$ . Pero no estoy seguro de cómo mostrar $\beta_n>\alpha_n>0$ para todos $n \in N$ .

Gracias por cualquier ayuda...

Answer 1

Para obtener una cota superior, hay que tener en cuenta que si el jugador no ha llegado al límite en el tiempo $n$ entonces no ha tenido una racha de victorias o derrotas de larga duración $c$ . Este último evento está contenido en el caso de que ninguna de las secuencias $(Z_1, \ldots, Z_c), (Z_{c+1}, \ldots, Z_{2c}), \ldots, (Z_{(m-1)c+1}, \ldots, Z_{mc})$ son los idénticos $+1$ o $-1$ secuencia, donde $m = \lfloor \frac{n}{c} \rfloor$ . Excluir sólo estas secuencias es suficiente, y facilita el análisis.

La probabilidad de que una determinada secuencia de $Z_i$ de longitud $c$ no es todo $+1$ o todos los $-1$ es $1-p^c-(1-p)^c.$ Así,

$\beta_n < (1-p^c-(1-p)^c)^{\lfloor \frac{n}{c} \rfloor} = \gamma_n$ ,

y $\gamma_n \to 0$ (¡exponencialmente rápido!) como $n \to \infty$ . (¿Es esto lo suficientemente sencillo?)

Obtener un límite inferior positivo es fácil: basta con elegir cualquier secuencia de victorias y derrotas de longitud $n$ ¡que no llega al límite! Por ejemplo, si el jugador gana repetidamente, luego pierde, luego gana, etc., nunca alcanzará el límite (siempre que $c > 2$ ). Este evento tiene una probabilidad

$\mathbb{P}(Z_i = (-1)^i, 1 \leq i \leq n) \geq p^{n/2}(1-p)^{n/2}. $

Así que $\beta_n > (p(1-p))^{n/2} = \alpha_n$ funciona.

Como nota: la distribución de su tiempo de golpeo a dos bandas $\min\{\tau_c, \tau_0\}$ puede calcularse exactamente, utilizando el teorema de parada opcional con algunas martingalas inteligentes. (No puedo encontrar una buena referencia ahora mismo, pero el método que se necesita para hacer esto es estándar).