Torus y curvas elípticas

Question

En una conferencia sobre curvas elípticas (una introducción al tema), el ponente dijo que una curva elíptica (es decir, una ecuación de la forma $y^2=x^3+ax+b $ donde el RHS tiene raíces distintas) es, en el espacio complejo, una superficie de toro/Riemann de género 1.

¿Qué significa esto? ¿Estamos hablando de un colector bidimensional el espacio 4D?

Answer 1

Si $\Lambda = \mathbb{Z}+\tau \mathbb{Z}, \tau \not\in \mathbb{R}$ es un entramado, entonces $\mathbb{C}/\Lambda$ es un toro complejo. Tenemos la función de Weierstrass de la red $$\wp(z) = \frac{1}{z^2}+\sum_{\lambda \in \Lambda^*} \frac{1}{(z-\lambda)^2} -\frac{1}{\lambda^2}$$ que es meromorfo y $\Lambda$ periódico, con un doble polo en $\mathbb{C}/\Lambda$ . A partir de la expansión de Laurent $\wp(z) = z^{-2}+0z^0+g_2 z^2+ g_3 z^4+\mathcal{O}(z^6)$ y como toda una función doblemente periódica es constante, encontramos una relación no lineal : $$\wp'(z)^2 = 4 \wp(z)^3- g_2 \wp(z)-g_3$$ En otras palabras, hemos encontrado un isomorfismo (de la superficie de Riemann y grupo) $$\varphi : \mathbb{C}/\Lambda \to E, \qquad \varphi(z) = (\wp(z),\wp'(z))$$ donde $E$ es la curva elíptica compleja $$E = \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2, y^2 = 4x^3-g_2 x-g_3\}$$ Por último, aplicando el cambio de variables a $x,y $ encontramos que cualquier curva elíptica compleja es isomorfa a dicho toro complejo por la media de su función de Weierstrass.