Hay resultados generales en la (integral) cohomology de colectores que se fibrations sobre el círculo? Cualquier literatura referencias muy apreciado.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?El por encima de Mayer-Vietoris argumento da la cohomology de un haz de fibras de más de un círculo en un hormigón de la moda. En aras de la "cultura matemática", pensé que me gustaría mencionar lo que sucede, por haces de fibras a través de una de las dimensiones superiores de la esfera (esta es también una buena excusa para probar el nuevo soporte latex).
Para haces de fibras $F \hookrightarrow E \rightarrow S^n$ $F$ conectado y $n \geq 2$, la Serre espectral de la secuencia degenera en una simple moda en lo que se conoce como el Wang secuencia exacta. Es decir, tenemos una larga secuencia exacta de la forma $$\cdots \rightarrow H^k(E) \rightarrow H^k(F) \rightarrow H^{k-n+1}(F) \rightarrow H^{k+1}(E) \rightarrow \cdots$$ La prueba de esto es completamente análogo a la prueba de los más conocidos Gysin secuencia exacta, que indica lo que sucede para los haces de fibras cuyas fibras son las esferas.
Una referencia para este material es McCleary de la "guía del Usuario para espectral de secuencias" en la página 145.
Joseph Sturtevant
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Esto comenzó como un comentario, pero es lo suficientemente interesante como que me decidí a hacer una respuesta en su lugar. Vamos a considerar haces sobre el círculo cuyas fibras están cerrados género $g$ superficies de $\Sigma_g$.
El diffeomorphism tipo del total de espacio de nuestro paquete sólo depende de la isotopía de la clase de la monodromy mapa. Denotar por $M_g$ la asignación del grupo de clase, es decir, el grupo de clases de isotopía de la orientación de la preservación de la diffeomorphisms de $\Sigma_g$. Para $f \in M_g$, denotan por $B_f$ el paquete de la superficie sobre el círculo determinado por $f$.
En un comentario, Tom Iglesia observó que la homología de $B_f$ será la misma que la homología de la trivial paquete si y sólo si $f$ actos trivialmente en $H_1(\Sigma_g)$. El grupo de las clases de mapeo que actúan trivialmente en $H_1(\Sigma_g)$ es conocido como el Torelli grupo.
Uno podía exigir más. Es decir, podríamos requerir que la copa de la estructura del producto en $H^{\ast}(B_f)$ ser el mismo que el de la copa de la estructura del producto en el trivial paquete. Como Tom observó, una hermosa teorema de Dennis Johnson da una caracterización precisa del subgrupo de $I_g$ consta de monodromies con esta propiedad. Una manera fácil de describir es que es el núcleo de la (exterior) de la acción de $M_g$ en el segundo nilpotent truncamiento de $\pi_1(\Sigma_g)$ (el grupo $H_1(\Sigma_g)$ es el primer nilpotent, es decir, abelian, trunctation).
La historia no termina aquí. Un espacio topológico tiene un "orden superior" intersección de la teoría dada por el llamado Massey productos. Ellos son una especie de generalizada de la copa de productos. De todos modos, Kitano generalizada Johnson trabajo y dio una precisa y hermosa descripción de la monodromies de la superficie de paquetes sobre el círculo en el que estas más alto de la intersección de los productos (hasta un cierto nivel) son triviales. Es decir, todos los grados en la mayoría de las $k$ Massey productos de $B_f$ será trivial si y sólo si $f$ actos trivialmente en el (k+1)st nilpotent truncamiento de $\pi_1(\Sigma_g)$.
Los detalles de este y referencias a Johnson documentos, consulte el siguiente documento:
MR1381688 (p97f p:57014) Kitano, Teruaki(J-TOKYTE) Johnson homomorphisms de los subgrupos de la asignación de grupo de clase, el Magnus de expansión y Massey mayor de productos de asignación de tori. (Resumen en inglés). Topología De Appl. 69 (1996), no. 2, 165--172.
Matthew Read
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Dado un paquete de $F \to M \to S^1$, la de Mayer-Vietoris secuencia correspondiente a la descomposición de la $M$ proveniente de la escritura $S^1$ como la unión de dos intervalos le dice que hay una breve secuencia exacta:
$$0 \to coker( f_n - I ) \to H_n(M) \to ker( f_{n-1} - I ) \to 0$$
Aquí $f_n : H_n F \to H_n F$ es la inducida por el mapa de la monodromy del bulto, es decir: usted piensa en el paquete como $R \times_f F, f: F --> F$ un homeomorphism / diffeomorphism / lo que sea. Y $I$ es el mapa de identidad en $H_n(M)$ $H_{n-1} M$ respectivamente.
Hay una descomposición similar para cohomology, y esto es lo que la Serre espectral de la secuencia le da a usted, también. El corto de la secuencia exacta, básicamente, codifica el problema con la extensión de la secuencia espectral.
kamens
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Para las 3-variedades, la cohomology podría ser casi cualquier cosa surjecting $\mathbb{Z}$.
En este caso, la fibra es una superficie, y desde $\mathrm{Mod}(S) \to \mathrm{Sp}(2g, \mathbb{Z})$ es surjective, puede hacer que la acción de la monodromy en la homología de la fibra de lo que quieras (siempre y cuando se conserva la intersección de formulario).
onnodb
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No es muy emocionante, pero la característica de Euler es cero. Supongo que eres consciente de la Serre espectral de la secuencia?
