Etemadi's $L^1$ La ley de los grandes números falla sin asumir una distribución idéntica

Question

El problema: Construir una secuencia $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ de variables aleatorias independientes no negativas con $E[X_n]=1$ para todos $n\in\mathbb N$ tal que $$\limsup_{n\to\infty}\frac{X_1+\cdots+X_n}n=\infty\quad\text{almost surely.}$$ Esto daría un contraejemplo a la Ley Fuerte de los Grandes Números de Etemadis presentada en Teoría de la Probabilidad y Ejemplos de Durrett.

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No se me ocurre nada que tenga sentido para este problema. ¿Alguien tiene una pista sobre cómo empezar?
Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Como señala @Michael, el teorema de Etemadi supone que las variables están idénticamente distribuidas, por lo que la cuestión es demostrar que este supuesto no puede ser eliminado. Supongamos que para $k \ge 1$ las variables independientes $Y_k$ tomar los valores $0,1$ con $P(Y_k=1)=(k\log(1+ k))^{-1}$ . Dejemos que $X_k=k\log(1+ k) Y_k$ . Por el lema de Borel-Cantelli, el evento $Y_k=1$ ocurre infinitamente a menudo casi con seguridad. Para cada $k$ tal que $Y_k=1$ tenemos $X_k/k=\log(1+k)$ por lo que el limsup mencionado en el problema original es efectivamente $\infty$ con probabilidad 1.