Muchas de las otras respuestas se refieren a los aspectos prácticos de la expansión en serie de Fourier frente a la serie de Taylor. Pero hay al menos una físico razón para elegir uno sobre el otro, y es que los coeficientes de expansión de un vector escrito en una base ortonormal revelan tipos particulares de físico información sobre el sistema descrito por la función, y el tipo de información física que se revela depende de la elección de la base:
La relevancia física de las expansiones en una base ortonormal
Esto se relaciona directamente con algunas de las respuestas que aquí se presentan como series de Fourier en el lenguaje del álgebra lineal, donde los senos y cosenos componen una base ortonormal para el espacio de funciones que se está viendo. En este contexto, una base ortonormal tiene cuatro buenas propiedades. La primera es simplemente que las bases ortonormales son agradables desde el punto de vista del cálculo, ya que permiten calcular fácilmente los coeficientes de expansión tomando el producto interior del vector con un elemento de la base. Las otras tres son más relevantes físicamente:
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Los coeficientes de expansión en una base ortonormal tienen una interpretación física directa. En el contexto de la mecánica básica, por ejemplo, el $v_x$ adjunta a $\hat{x}$ en un vector de velocidad realmente es la velocidad en el $x$ dirección, en el siguiente sentido. Imagina que te mueves a lo largo del $x$ -eje a la velocidad $v_x$ (del objeto) y observando el objeto mientras se mueve: el objeto se alejará de ti pero seguirá tu ritmo en esa dirección. Por lo tanto, es importante, las componentes de un vector en una base ortonormal revelan información físicamente relevante sobre el sistema descrito por ese vector .
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El tipo de información física que se revela depende de la base ortonormal que se elija. Si se elige representar un vector de velocidad en la base $\{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}$ entonces se obtienen las velocidades en esas direcciones (en el sentido explicado en el punto anterior). Si por el contrario se elige la base en la que uno de los vectores base se encuentra a lo largo de $\vec{v}$ entonces la componente a lo largo de este vector base es el velocidad de la partícula. Diferentes bases revelan información diferente y ocultan información diferente.
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Finalmente, los coeficientes de expansión en una base ortonormal son único que es lo que realmente nos permite interpretar las cantidades físicamente. (¿Qué haría el $x$ -(¿el componente de la velocidad significa realmente que puede tomar dos valores diferentes?)
La interpretación física de los coeficientes de expansión en una serie de Fourier
En el contexto de las series de Fourier, estos puntos tienen el siguiente significado.
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Los coeficientes de expansión nos dicen cuánto se parece la función a una determinada función seno o coseno. Consideremos uno de los términos de la expansión, dado por $$a_n\cos\left(\omega_n t\right) + b_n\sin\left(\omega_n t\right),$$ donde $\omega_n=2\pi n/T$ . Si reescribimos esto como $$A_n\sin\left(\omega_n t+\phi_n\right),$$ donde $A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ y $\phi_n=\tan^{-1}(a_n/b_n)$ entonces podemos interpretar que los coeficientes nos dan dos informaciones. La amplitud $A_n$ nos indica en qué medida esta función concreta entra en la expansión, y por tanto en qué medida la función original se parece a esta función sinusoidal concreta. En otras palabras, $A_n$ nos indica en qué medida la función original oscila con la frecuencia $n/T$ . En otras palabras, los coeficientes de expansión nos dan la contenido de frecuencia de la señal original, donde los coeficientes de expansión cuantifican esta relación. (Las fases $\phi_n$ sería relevante, por ejemplo, en los experimentos de interferencia, pero a efectos de esta discusión, lo que realmente importa es la amplitud).
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Una serie de Fourier (y una transformada de Fourier) proporciona el contenido de frecuencia (o de longitud de onda, según el contexto) de la función que describe alguna cantidad física en algún sistema físico. También se pueden utilizar otros conjuntos de funciones ortogonales. Por ejemplo, en electrostática, podemos expandir el potencial electrostático utilizando polinomios de Legendre, y estas funciones producen el $^1$ estructura multipolar (monopolar, dipolar, cuadrupolar, etc.) del potencial electrostático. Diferentes bases ortonormales revelan diferentes tipos de físico información sobre el sistema.
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La singularidad, de nuevo, nos permite hacer lo anterior. Si la serie de Fourier fuera realmente a Serie de Fourier $^2$ Entonces esto no funcionaría realmente.
Serie Taylor
Según tengo entendido, no existe un producto interno "natural" sobre el conjunto de polinomios que haga que el conjunto de monomios $x^n$ ortonormal, por lo que realmente no podemos interpretar una serie de Taylor como una expansión en una base ortonormal. Sin embargo, podemos puede $^3$ interpretar una serie de Taylor como una expansión en una base no ortogonal, y así recuperamos un poco el poder interpretativo.
En particular, los coeficientes de expansión revelan estructural información sobre la función, ya que revela cómo constante la función es, cómo lineal la función es, cómo cuadrático ¿Cómo? cúbico y así sucesivamente. Esto también puede tener importantes consecuencias físicas, como demuestra el hecho de que el oscilador armónico simple es omnipresente: si una energía potencial es "muy cuadrática", entonces el comportamiento del sistema se parece mucho a un oscilador armónico simple.
Esto es no el tipo de información que se revela a través de una serie de Fourier $^4$ y por lo tanto las diferentes bases revelan información diferente .
Aproximación numérica
Por último, como se ha mencionado en otras respuestas, uno u otro pueden ayudar a los cálculos numéricos, pero yo diría que esto también tiene implicaciones físicas (o, al menos, está informado por la física). Como ejemplo arquetípico, basta con ver la sección anterior sobre las series de Taylor. En cierto sentido, la aproximación del sistema como un simple oscilador armónico es una numérico aproximación, y es una que tiene tanto significado como justificación física.
1. Todos los términos de la expansión, excepto el primero que no es cero, dependen en realidad del origen elegido, por lo que usar "el" aquí no es correcto, y hay un poco de sofisma en el sentido de que estoy subrayando la importancia de la unicidad de la expansión. Sin embargo, el punto sigue siendo bueno.
2. Por supuesto, podemos elegir diferentes intervalos sobre los que calcular una serie de Fourier para una función concreta, y en ese sentido una serie de Fourier no es única. Sin embargo, el intervalo suele estar determinado por el sistema físico que estamos describiendo, por lo que en ese sentido recuperamos la unicidad. De hecho, a veces estamos calculando una serie de Fourier <em>transformar </em>, en cuyo caso el intervalo es toda la recta real.
3. En física podemos, de todos modos, tener una sensación intuitiva de lo que estamos haciendo. Y <em>quizás </em>también podemos en las matemáticas, en la medida en que nos lo permitan. Sin embargo, no sé hasta qué punto los matemáticos piensan en las series de Taylor de esta manera.
4. Excepto que, como se menciona en otra respuesta, hay una relación entre las series de Fourier y las series de Taylor que se revela en el contexto del análisis complejo. Así que hay otro poco de sofisma en el nombre de conseguir mi punto a través.
