demostrar que cualquier variable aleatoria positiva de valor entero con la propiedad de no tener memoria tiene la distribución geométrica para alguna $p$

Question

Cómo demostrar que cualquier variable aleatoria positiva de valor entero con la propiedad de no tener memoria tiene la distribución geométrica para algunos $p$ .

Por la propiedad sin memoria,

$$P(X=i+s | X>i)=P(X=s)$$

¿Cómo obtener la distribución de X a partir de lo anterior?

Answer 1

Dejemos que $p=P[X\geqslant2]$ entonces $P[X\geqslant i+1\mid X\geqslant i]=p$ por cada $i\geqslant1$ por lo que $P[X\geqslant i]=p^{i-1}$ por cada $i\geqslant1$ . Seguramente se puede deducir la distribución de $X$ de esta observación.

Answer 2

En primer lugar, observe que $$ \mathbb{P}\{X>t\}=\sum_{n > t}\mathbb{P}\{X=n\} $$ por lo que se puede demostrar que la propiedad de ausencia de memoria implica ( $s,t>0$ ) $$ \mathbb{P}[X>s+t| X > t]=\mathbb{P}\{X> s\} $$ Tenga en cuenta también que, dado que $s>0$ $$ \mathbb{P}[X>s+t| X > t\} = \frac{\mathbb{P}\{X>s+t\}}{\mathbb{P}\{X > t\}} $$

Definir $f\colon t\in\mathbb{R}_+\mapsto\mathbb{P}\{X>t\}\in[0,1]$ . Tenemos $f\searrow$ y además $\forall t,s\geq 0$ $$ \frac{f(t+s)}{f(t)}=f(s) $$

es decir $$ f(s)f(t)=f(s+t)\qquad \forall s,t \geq0 $$ Ahora, queda por resolver esta ecuación funcional (con la condición adicional de que $f$ es no creciente) para obtener la(s) única(s) forma(s) posible(s) para $\mathbb{P}\{X> t\}$ - que caracteriza a $X$ de la ley.

Answer 3

Esto es esencialmente una reelaboración de la respuesta de Did. Arreglar $i=1$ , $q = P\{X > 1\}$ y nota que $$P\{X = s+1\mid X > 1\} = \frac{P\{X = s+1, X > 1\}}{P\{X > 1\}} = \frac{P\{X = s+1\}}{q} = P\{X=s\}$$ que da $$\begin{align} P\{X=2\} &= qP\{X=1\}\\ P\{X=3\} &=q P\{X=2\} = q^2P\{X=1\}\\ P\{X=4\} &=q P\{X=3\} = q^3P\{X=1\}\\ \vdots\qquad &\vdots \qquad \vdots\\ P\{X = n\} &= qP\{X = n-1\} = q^nP\{X=1\}\\ \vdots\qquad &\vdots \qquad \vdots \end{align}$$ por lo que las masas de probabilidad disminuyen como una serie geométrica.