¿Son los mapas característicos de los complejos CW Lipschitz hasta la homotopía?

Question

Consideremos un complejo CW finito $X=\cup X_j$ con una métrica dada, compatible con la topología (tal vez una razonable proveniente de alguna incrustación en algún $\mathbb{R}^n$ ). Los mapas característicos son los mapas $\phi_j^k:\mathbb{S}^{j-1}\to X_{j-1}$ para $k=1,\ldots, N_j$ que prescriben cómo pegar los límites del $j$ -celdas de dimensión $e_j^1,\ldots,e_j^{N_j}$ a la $(j-1)$ -esqueleto de dimensiones de $X$ .

¿Siempre existen mapas $\psi_j^k:\mathbb{S}^{j-1}\to X_{j-1}$ que son homotópicas a $\phi_j^k$ s y Lipschitz? Si la respuesta es negativa, en general, bajo qué hipótesis sobre $X$ ¿podría ser esto cierto?

NOTAS

1. Si $X$ es en realidad un complejo simplicial, por aproximación simplicial esto debería ser cierto.
2. Si $X$ es un espacio CAT(k), esto es probablemente cierto por subdivisión baricéntrica.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea el cono de mapeo de una curva que llena el espacio $S^1\to D^2$ (aquí $D^2$ es el disco bidimensional). Entonces $X$ es equivalente en homotopía a $S^2$ pero dudo que se pueda homotopizar el mapa $S^2\to X$ para que sea Lipschitz.