Considere el siguiente procedimiento de iteración. ¿Converge para cualquier punto inicial distinto de cero? Si no es así, ¿por qué? En caso afirmativo, ¿a qué valor?

Question

Considere el siguiente procedimiento de iteración. ¿Converge para cualquier punto inicial distinto de cero? Si no es así, ¿por qué? En caso afirmativo, ¿a qué valor? $x_{n+1} = \frac{1}{2} x_n + \frac{1}{x_n}$ ¿Puede alguien indicarme cómo resolver la convergencia de este problema? Fui a la Wiki página era un poco vaga en cuanto a cómo implementar realmente el análisis de convergencia.

Answer 1

Pista : Mientras no se obtenga un punto fijo, se puede demostrar que este tipo converge. Los únicos puntos fijos son $x = 0$ (no definido) y $x = \pm \sqrt 2$ .

Para el valor inicial como los puntos fijos, la secuencia es convergente. Para todos los demás valores iniciales, si se empieza con un valor inicial positivo, converge a $\sqrt 2$ y para un valor inicial negativo converge a $-\sqrt 2$ .

Un buen truco es suponer que converge, y luego poner $y = x_{n+1} = x_{n}$ y resuelve para y. Esto te da una idea de lo que está pasando. Luego puedes razonar con rigor.

Answer 2

Yo optaría por convertirlo en un problema del método de Newton.

El método de Newton se utiliza para resolver $f(x)=0$ : $$x_{n+1} = x - {f(x)\over f'(x)}$$ Yo buscaría una función $f$ tal que $$x-{f(x)\over f'(x)} = {1\over2}\,x_n + {1\over x_n}$$ o $${f(x)\over f'(x)} = {-1\over2}\,x_n + {1\over x_n}$$ Esta ecuación diferencial puede resolverse aparentemente mediante la separación, con la solución $f(x)=C(x^2-2)$ para una constante arbitraria $C$ . Ahora busca cuándo converge el Método de Newton, y aplícalo a esta función.

Answer 3

Claramente, el signo de todos $x_n$ es el mismo que el signo del valor inicial $x_0$ Por lo tanto, basta con ver lo positivo $x_0$ sólo.

Consideremos la función RHS $f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{x}$ , $x>0$ .

1. $\min_{x>0}f(x)=\sqrt{2}$ alcanzado en $x=\sqrt{2}$ $\qquad\Rightarrow\qquad$ $x_n\ge\sqrt{2}$ , $n\ge 1$ .
2. $f(x)\le x$ para $x\ge\sqrt{2}$ $\quad\Rightarrow\quad$ $x_{n+1}\le x_n$ , $n\ge 1$ .

La secuencia monótona $x_n$ tiene un límite $a\in[\sqrt{2},x_1]$ por lo tanto, converge. Para hallar el valor, se establece $x_n=a$ a la recursión y resolver para $a$ para conseguir $a=\sqrt{2}$ .

P.D. De la misma manera para los negativos $x_0$ .