¿Podemos normalizar un espacio analítico complejo en una cobertura de un subconjunto abierto?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio analítico complejo normal conectado, $x\in X$ un punto, $f$ una función holomorfa no nula que desaparece en $x$ . Denote por $U\subseteq X$ el lugar donde $f$ es distinto de cero. Supongamos que $\pi:U'\to U$ es un espacio de cobertura de grado finito. Esto da $U'$ la estructura de un espacio analítico. Sea $A$ sea el anillo de pares $(V, h)$ donde $V$ es una vecindad de $x$ en $X$ y $f$ es un limitado función holomorfa en $\pi^{-1}(V\cap U)$ , donde para $V'\subseteq V$ identificamos $(V, h)$ con $(V', h|_{V'})$ . Se trata de un subring de los tallos de $j_* \pi_* \mathcal{O}_{U'}$ en $x$ , donde $j:U\to X$ es la inclusión. Contiene $\mathcal{O}_{X, x}$ (el anillo de gérmenes de funciones holomorfas en $x$ ).

Pregunta. Es $A$ una generación finita de $\mathcal{O}_{X, x}$ -¿Módulo?

En otras palabras, ¿podemos "normalizar $X$ dentro de $U'$ ", es decir, ampliar $U'\to U$ a un mapa finito $X'\to X$ ?

Answer 1

Véase el teorema 3.4 de la obra de Dethloff y Grauert " Espacios complejos seminormales "(observe que en su entorno $A$ está vacía, por lo que el teorema se hace más fácil). Esto parece ser exactamente lo que buscas, si he entendido bien tu pregunta. Creo que es una versión moderna de teoremas muy clásicos de Grauert, Remmert y Stein.

Por comodidad, incluyo el enunciado del teorema, que en realidad es un poco más fuerte de lo que se requiere. Dethloff y Grauert demuestran:

Teorema 3.4. Dejemos que $N$ sea un espacio complejo normal, y sea $B\subset N$ sea un subconjunto analítico no denso en ninguna parte. Sea $\pi: Y\to (N\setminus B)$ sea un recubrimiento analíticamente ramificado con un lugar crítico $A \subset (N\setminus B)$ . Supongamos que $A\cup B\subset N$ es analítica. Entonces $\pi: Y\to (N\setminus B)$ puede extenderse de forma única a una cobertura analíticamente ramificada $\pi: X\to N$ que está determinada de forma única hasta la equivalencia de coberturas analíticamente ramificadas.

Nótese que el Teorema 1.3 y el Teorema 3.3 y las observaciones que le siguen en las mismas notas muestran que en este caso $X$ debe ser normal, así que esto sí responde a la pregunta en su totalidad.