¿Exactamente un inverso de la derecha implica invertible?

Question

Sé que, en un ring con identidad $R$ , si $a$ tiene exactamente un inverso de la derecha $b$ entonces $a$ es invertible. De hecho:

$$a(ba-1+b)=aba-a+ab=a-a+1=1,$$

para que $ba-1+b=b$ Por lo tanto $ba=1$ .

Sin embargo, ¿sigue siendo cierto para cualquier monoide, es decir, si, en un monoide $X$ , $a$ tiene exactamente un inverso de la derecha $b$ , entonces es $a$ ¿Invertible?

Si $X$ es finito, entonces la respuesta es sí. En efecto, en un monoide finito $X$ , si $a$ tiene algún inverso de la derecha $b$ entonces $x\mapsto xa$ es una función inyectiva de $X$ a sí mismo, por lo que por finitud de $X$ la función es suryectiva, por lo que existe una $c$ tal que $ca=1$ Por lo tanto $a$ es invertible.

Answer 1

La respuesta es "no" para los monoides. Consideremos el ( bicicleta ) monoide $B$ generado por 2 funciones $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ . La función $p$ es el turno: $p(n)=n+1$ . La función $q$ es el pseudoinverso de $p$ : $q(n)=n-1$ si $n>1$ y $q(1)=1$ . Entonces $pq=1$ ( $p$ actúa primero) por lo que $q$ es un inverso de la derecha de $p$ . De esto se deduce inmediatamente que cada elemento de $B$ tiene la forma $q^kp^m$ para algunos enteros no negativos $k,m$ . Esto también implica fácilmente que $p$ no tiene ningún otro inverso derecho en $B$ . Pero $p$ no tiene una inversa ya que $qp\ne 1$ .