¿Por qué este número está tan cerca de $1$?

Question

La única solución positiva de la ecuación $\sin (\tan x) = x$ es un número $a = 0.999906...$. ¿Es una coincidencia que el número $a$ esté tan cerca de $1, o hay una explicación conceptual?

Era obvio que $a$ iba a tener que ser menor que $1$, pero no tan cerca. La respuesta parece estar relacionada con $\tan 1 \approx \pi/2$, pero eso simplemente traslada el problema a explicar por qué eso es así.

(Me interesé en esta pregunta después de leer esta otra pregunta: Prove: $\sin (\tan x) \geq {x}$ )

Edit: He pensado más en la pregunta y he agregado algunas ideas en forma de respuesta que abordan parcialmente por qué tenemos $\tan 1 \approx \pi/2$.

Answer 1

Las respuestas de J Swanson y Christian Blatter abordan la pregunta de por qué, dado que $\tan 1 \approx \pi/2$ (dentro del $1 \%$), tenemos $\sin \tan 1 \approx 1$ dentro del $0.01\%$. La fórmula de Taylor para $\sin x$ alrededor de $x = \pi/2$ muestra por qué la precisión sería aproximadamente al cuadrado.

Eso deja abierta la pregunta de por qué $\tan 1 \approx \pi/2.

La fracción continua de Gauss para $\tan z$ (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss_continued_fraction) es: $$\tan z = \cfrac{z}{1 - \cfrac{z^2}{3 - \cfrac{z^2}{5 - \cfrac{z^2}{7 - {}\ddots}}}}.$$ En particular, para $z = 1$, esto da como resultado $$ \tan 1 \approx \cfrac{1}{1 - \cfrac{1}{3 - \cfrac{1}{5}}} = \frac{14}{9}.$$ Esta es una excelente aproximación, válida dentro de un poco más del $0.1\%$. Así que solo necesitamos considerar la pregunta de por qué $\pi \approx 28/9$.

No tengo una respuesta muy buena para esta parte, ya que no he podido encontrar ninguna secuencia aproximada estándar de $\pi$ cuyos primeros términos sean $28/9$. Sin embargo, puedes obtener $28/9$ como una aproximación de $\pi$ de la siguiente manera, como se explica en A History of Pi de Beckmann. (Si el círculo tiene un área $\pi$, entonces el octágono tiene un área de $28/9$.)

Answer 2

Ocurre que $\pi/2 - \tan 1 \approx 0.0133886$. Esto puede ser simplemente una coincidencia numérica o puede haber una buena razón. Pero en cualquier caso, $\sin$ es muy plana cerca de $\pi/2$, por lo que incluso valores que están bastante cerca de $\pi/2$ se traducen en valores muy cercanos a $1$, por lo tanto $\sin \tan 1 \approx 0.9999103$. Por continuidad/suavidad el punto fijo debe estar muy cerca de $1$, como dices.

Voy a hacer esto más cuantitativo en un esfuerzo por hacerlo más "explicativo". Supongamos que $f(x)$ es suave cerca de $x=1$ y $f(1) - \pi/2 = \delta$. Entonces $\sin(f(1)) = \cos(\delta) = 1 - \delta^2/2 + \cdots$. Por lo tanto $\sin f(x) - x$ en $x=1$ es $-\delta^2/2 + \cdots$. Si $|\delta| \approx 0$, la diferencia es aproximadamente $0$, por lo que si existe un punto fijo, debería estar cerca de aquí, lo que se puede hacer riguroso comparando la derivada de $\sin f(x) - x$ con $-\delta^2/2 + \cdots$ en $x=1$.

En el caso presente con $f = \tan$, encontramos que $\delta \approx -0.0133886$, tenemos $-\delta^2/2 \approx -0.0000896273$, y esto es mínimo en comparación con $(\sin \tan x - x)'(1) \approx -0.954138$, así que definitivamente obtendremos un punto fijo muy cerca de aquí. De hecho, el punto fijo real difiere de $1$ en $0.0000939875$, que está muy cerca de mi estimación, y además $0.0000896273/0.954138 \approx 0.0000939354$. Es decir, la proximidad del punto fijo a $1$ es solo una versión amplificada de la cercanía de $tan 1$ a $\pi/2$ gracias a la función seno.

Algunas reflexiones sobre $\pi/2 - \tan 1 \approx 0.0133886$: podemos cambiar el problema de al menos dos maneras--reemplazar $\sin$, $\pi/2$, $1$; reemplazar $\tan--y a veces el razonamiento anterior seguirá siendo válido. Hay muchos ajustes potenciales, así que estaría satisfecho con la explicación de la coincidencia. Por otro lado, sería más interesante si realmente estuviera sucediendo algo con $\tan$ y $\pi/2$.

Answer 3

Considera que intentas resolver tu ecuación utilizando el método de Newton empezando en $ x = 1 $. La primera iteración está dada por $$ x = 1 + \frac{-1 + \sin(\tan(1))}{1 - \cos(\tan(1)) \sec(1)^2}; $$ el cambio es $-0.000093934$.

Si utilizas el método de Halley, la fórmula se vuelve mucho más compleja y el cambio es $-0.0000939875$.

Answer 4

De $${4\over3}=1+{(1)^3\over3}<\tan 1<\tan{\pi\over3}=\sqrt{3}$$ se deduce que $$\tan 1={\pi\over2}+\tau$$ para un $\tau$ de pequeño valor absoluto. El hecho de que en realidad $\tau\doteq-0.0134$ y por lo tanto $|\tau|\ll1$ es pura suerte.

Para un $\delta$ con $0<\delta\ll 1$ tenemos entonces $$\tan(1-\delta)\doteq{\pi\over 2}+\tau-\delta\left(1+{\pi^2\over4}\right)\doteq {\pi\over2}+\tau-{7\over2}\delta\ ,$$ donde hemos utilizado $\pi^2\doteq10$. Se deduce que $$\sin\bigl(\tan(1-\delta)\bigr)\doteq 1-{1\over2}\left(\tau-{7\over2}\delta\right)^2\ ,$$ y esto debería ser igual a $1-\delta$ para algún $\delta$ positivo $\ll1$. La ecuación $$\left(\tau-{7\over2}\delta\right)^2=2\delta$$ tiene dos soluciones $\delta_1\doteq{\tau^2\over2}$ y $\delta_2\doteq{8\over49}$, siendo la primera la que nos interesa. Dado el valor de $\tau$ anteriormente mencionado, obtenemos $\delta_1\doteq0.0000896$, lo que nos lleva a $x=0.9999103$.