No entiendo muy bien lo que significa realmente. ¿Significa que $f(c_i)$ podría ser infinito y $dx$ es muy pequeño, por lo que no se puede determinar cuál es el infinito $\times$ muy pequeño ¿es?
Respuestas
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Ya Basha
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La cuestión es que si la función es agradable, entonces la diferencia entre todas las $f(c_i)$ para todas las opciones válidas de $c_i$ son más o menos iguales. Por lo tanto, para cualquier partición dada, si es lo suficientemente fina, cambiar $c_i$ a algún otro valor válido hace muy poco cambio en la suma total.
Sin embargo, si $f$ es ilimitado, entonces puede elegir $c_i$ que hace que $f(c_i)$ tan grande como se quiera, lo que significa que para cualquier partición dada, diferentes opciones de $c_i$ puede hacer que esa suma sea básicamente lo que usted quiera. Por eso el límite no está definido.
Shabaz
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Tomemos un ejemplo concreto, por ejemplo $\int_0^2\frac 1{(x-1)^2}dx$ Uno de los intervalos cubrirá $1$ . La definición dice que la suma debe converger independientemente de cómo elijamos el $c_i$ en ese intervalo (y en todos los demás), pero si elegimos que $c$ para ser $1$ la suma no está definida. Incluso si no elegimos exactamente $1$ podemos elegirlo lo suficientemente cerca de $1$ que la suma es enorme. Como dice el texto, eso demuestra que tenemos que hacer algo con más cuidado. Es de suponer que los próximos párrafos mostrarán de qué se trata.
