Aumentar la suma de dos cocientes desplazando materia entre los denominadores

Question

Dejemos que $x_1,x_2 > 0$ y que $y_1,y_2 > \epsilon > 0$ . Sea $R$ sea la suma de ratios: $$ R = \frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2} $$

Ahora, roba $\epsilon$ de uno de los denominadores y donarlo al otro. Esto se puede hacer de dos maneras, así que deja:

$$ R^\prime = \frac{x_1}{y_1-\epsilon} + \frac{x_2}{y_2+\epsilon}\\ R^{\prime\prime} = \frac{x_1}{y_1+\epsilon} + \frac{x_2}{y_2-\epsilon} $$

Observando muchos ejemplos con números generados aleatoriamente, parece ser que al menos uno de $R^\prime$ y $R^{\prime\prime}$ es mayor que $R$ ; a veces las dos cosas.

Me gustaría demostrar este resultado, y me gustaría encontrar una condición simple que me diga cuál(es) de $R^\prime$ y $R^{\prime\prime}$ será mayor que $R$ . Lo he intentado durante un tiempo pero no consigo que caiga nada bonito del desordenado álgebra.

Answer 1

Después de jugar con él con más sueño y más cafeína, conseguí que funcionara. Mi álgebra tuvo que desordenarse bastante antes de que cayera una buena solución, así que la pongo aquí en toda su gorguera. Me interesaría ver si alguien puede obtener el mismo resultado con un álgebra más simple.

Tenemos $R^\prime > R$ si:

\begin {align} \frac {x_1}{y_1- \epsilon } + \frac {x_2}{y_2+ \epsilon } &> \frac {x_1}{y_1} + \frac {x_2}{y_2} \\ \frac {(x_1 y_2 + x_2 y_1)+(x_1 - x_2) \epsilon }{y_1y_2+(y_1-y_2) \epsilon + \epsilon ^2} &> \frac {x_1 y_2 + x_2 y_1}{y_1 y_2} \\ \frac {(x_1 y_2 + x_2 y_1)+(x_1 - x_2) \epsilon }{x_1 y_2 + x_2 y_1} &> \frac {y_1y_2+(y_1-y_2) \epsilon + \epsilon ^2}{y_1 y_2} \\ 1 + \frac {x_1-x_2}{x_1 y_2 + x_2 y_1} \epsilon &> 1 + \frac {y_1 - y _2}{y_1 y_2} \epsilon + \frac {1}{y_1 y_2} \epsilon ^2 \\ \frac {x_1 - x_2}{x_1 y_2 + x_2 y_1} &> \frac {y_1 - y_2 + \epsilon }{y_1 y_2} \\ (x_1 - x_2)y_1 y_2 &> (x_1 y_2 + x_2 y_1)(y_1 - y_2 - \epsilon ) \\ x_1 y_1 y_2 - x_2 y_1 y_2 &> x_1 y_1 y_2 - x_1 y_2 (y_2 + \epsilon ) + x_2 y_1 (y_1 - \epsilon ) - x_2 y_1 y_2 \\ x_1 y_2 (y_2 + \epsilon ) &> x_2 y_1 (y_1 - \epsilon ) \\ \frac {x_1/y_1}{x_2/y_2} &> \frac {y_1 - \epsilon }{y_2 + \epsilon } \end {align}

Por simetría, tenemos $R^{\prime\prime}>R$ si sustituimos $x_1 \leftrightarrow x_2 $ y $y_1 \leftrightarrow y_2 $ en el resultado anterior, lo que nos da

\begin {align} \frac {x_2/y_2}{x_1/y_1} &> \frac {y_2 - \epsilon }{y_1 + \epsilon } \\ \frac {x_1/y_1}{x_2/y_2} &< \frac {y_1 + \epsilon }{y_2 - \epsilon } \end {align}

Tenga en cuenta que siempre tenemos $\frac{y_1 - \epsilon}{y_2 + \epsilon} < \frac{y_1 + \epsilon}{y_2 - \epsilon}$ (el numerador es más pequeño y el denominador más grande), lo que nos da la siguiente imagen completa:

Answer 2

Tenga en cuenta que $R = \frac{x_1y_2 + x_2y_1}{y_1y_2}$ . Utilizando $y_2 \leftarrow y_2 + \epsilon$ y $y_1 \leftarrow y_1 - \epsilon$ produce $$R^{'} = \frac{x_1y_2 + x_2 y_1 + (x_1 - x_2)\epsilon}{y_1y_2 + (y_1 - y_2)\epsilon - \epsilon^2}.$$ Por lo tanto, si $x_1 \geq x_2$ y $y_1 \leq y_2$ tenemos que $R^{'} \geq R$ porque el numerador es mayor que antes y el denominador es menor que antes.

¿Puedes resolver los otros casos?