Imagen de interacción derivación del Hamiltoniano de interacción y la matriz de densidad

Question

Estoy aprendiendo sobre la imagen de interacción y no estoy satisfecho con la definición básica del Hamiltoniano de interacción en la imagen de interacción, porque parece simplemente un ansatz. Así que estoy tratando de derivarlo de manera diferente. Presentaré mi proceso de pensamiento para el Hamiltoniano de interacción y la matriz de densidad.

1) Hamiltoniano de Interacción

De los libros, la definición del Hamiltoniano de Interacción en la imagen de Interacción dice: \begin{equation} H_I(t)=e^{\frac{i}{\hbar}H_0 t}H_I(0)e^{-\frac{i}{\hbar} H_0 t} \end{equation} Es fácil ver que en realidad proviene de resolver una ecuación de movimiento de Heisenberg tratando el Hamiltoniano de interacción como un operador de Heisenberg:

\begin{equation} \dot{H}_I(t) = \frac{i}{\hbar} [H(t),H_I(t)] =\frac{i}{\hbar} [H_0+H_I(t),H_I(t)] =\frac{i}{\hbar} [H_0,H_I(t)] \end{equation} Podemos escribir la solución como: \begin{equation} H_I(t)=H_I(0)+\frac{i}{\hbar}\int\limits_0^t dt' \, [H_0,H_I(t')] \end{equation} y lo plugamos iterativamente de nuevo:

\begin{equation} H_I(t)=H_I(0)+\frac{i}{\hbar}\int\limits_0^t dt' \, [H_0,H_I(0)]-\frac{1}{\hbar^2}\int\limits_0^t \int\limits_0^{t'} dt' dt'' \, [H_0,[H_0,H_I(t'')]] \end{equation}

Eventualmente lo plugamos infinitas veces y obtenemos una serie infinita como solución, que podemos transformar en exponentes usando la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff:

\begin{equation} H_I(t)=e^{\frac{i}{\hbar}\int\limits_0^t dt' \,H_0}H_I(0)e^{-\frac{i}{\hbar}\int\limits_0^t dt' \, H_0} =e^{\frac{i}{\hbar}H_0 t}H_I(0)e^{-\frac{i}{\hbar} H_0 t} \end{equation} donde si el Hamiltoniano es independiente del tiempo, podemos llevar a cabo la integral.

Hasta ahora parece funcionar, pero mi pregunta es - ¿a dónde va el último término $\int\limits_0^t dt' ...\int\limits_0^{t^{n-2}}dt^{n-1} \int\limits_0^{t^{n-1}} dt^n\, [...,[H_0,[H_0,H_I(t^n)]]$ en la expansión infinita, ya que aquí el Hamiltoniano sigue dependiendo del tiempo y no podemos llevar a cabo la integral? Estaba pensando en descartarlo porque es una serie infinita, pero no estoy convencido porque el último término también podría contribuir infinitamente a la serie.

2) Matriz de Densidad

También intento tratar la matriz de densidad de manera similar al Hamiltoniano de interacción. De los libros, se define de la siguiente manera:

\begin{equation} \rho_I=e^{\frac{i}{\hbar}H_0 t}\rho_S e^{-\frac{i}{\hbar} H_0 t} \end{equation}

donde $\rho_S$ es la matriz de densidad en la imagen de Schrödinger. Así que creo que uno también podría derivar esta definición de la ecuación de la matriz de densidad:

\begin{equation} \dot{\rho}_S = \frac{i}{\hbar} [H_0,\rho_S] \end{equation} donde la solución de $\rho_S$ sería la matriz de densidad de la imagen de interacción $\rho_I$. ¿Es correcto mi proceso de pensamiento?

Answer 1

No es necesario iterar \begin{equation} H_I(t)=H_I(0)+\frac{i}{\hbar}\int\limits_0^t dt' \, [H_0,H_I(t')] . \end{equation} Simplemente observa que se resuelve fácilmente con el Ansatz \begin{equation} H_I(t)=e^{\frac{i}{\hbar}tH_0 }H_I(0)e^{-\frac{i}{\hbar} t H_0 } \end{equation} lo cual proporciona el lado derecho $$ H_I(0)+\frac{i}{\hbar}\int\limits_0^t dt' ~~ [H_0,~e^{\frac{i}{\hbar}t' H_0 }H_I(0)e^{-\frac{i}{\hbar}t' H_0 } ]\\ = H_I(0)+\frac{i}{\hbar}\int\limits_0^t dt' e^{\frac{i}{\hbar}t'[H_0 }[H_0,H_I(0)]\\ = H_I(0)+ \left ( e^{\frac{i}{\hbar}t[H_0 } ~H_I (0) - H_I(0) \right )\\ = e^{\frac{i}{\hbar}t[H_0 }~~ H_I (0) \equiv e^{\frac{i}{\hbar}t H_0 } H_I (0) e^{-\frac{i}{\hbar}t H_I }. $$ Esta última línea es un famoso Lema (4), a saber que $$ e^A B e^{-A}= B+ [A,B]+ [A,[A,B]]/2!+ [A,[A,[A,B]]]/3!+... $$ donde he usado la notación $$ e^{[A} \equiv e^{\operatorname{ad}_A } = \operatorname{Ad}_{e^A} $$ ya que la mayoría de los físicos no están familiarizados con los operadores matemáticos involucrados. El truco entonces consiste en la integración de un simple exponencial del operador ad.

La misma integración del truco ad te dará la matriz densidad.