Valor de

Question

Estaba leyendo esta vieja pregunta y fascinado por la segunda suma infinita <span class="math-container">$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n!}}.$#n^4\le n!\le (n!) ^2,$ This is clearly convergent (by comparison or ratio test) and, we can obtain some crude approximations of this using inequalities like <span class="math-container">$n\ge7.$</span> Pero, me pregunto si podemos encontrar el valor exacto de esta serie usando funciones /constantes especiales (familiares). ¿Cómo atacarías esta serie?</span>

Answer 1

Comentario:

Se puede demostrar que:

<span class="math-container">$$∑^∞_{n=1} \frac{1}{n!}:</span>

<span class="math-container">$$1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{2\times 3\times 4}+ . . . \frac{1}{2\times 3\times . . .\times n}</span>

Podemos concluir que:

<span class="math-container">$$\sqrt{∑^∞_{n=1} \frac{1}{n!}}</span>

Podemos ver que:

<span class="math-container">$$\sqrt{∑^∞_{n=1} \frac{1}{n!}}</span>

<span class="math-container">$$\sqrt 3=1.73 </span>

Lo revisé hasta n=8 que da <span class="math-container">$2.46$,</span> parece ser razonable.