¿Por qué el campo vectorial $\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{r^n} $ representar un campo vectorial solenoide para un solo valor de n?

Question

Actualmente estoy estudiando Cálculo Vectorial en la licenciatura, y tengo bastantes dudas que no he podido eliminar cuando he intentado buscarlas. He intentado organizarlas lo mejor posible, y agradecería mucho cualquier ayuda para afianzar mi comprensión del tema.

Mientras resolvía problemas sobre vectores solenoides e irrotacionales en clase, surgió esta pregunta -

$\textit{Find the value of n for which}$ $\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{r^n}$ $\textit{is solenoidal.}$

Para que un campo vectorial sea solenoide, la divergencia en todos los puntos del campo debe ser cero. O, desde una perspectiva más visual, las líneas del campo forman bucles cerrados o, según Wikipedia, terminan en el infinito. Esto me lleva a mi primera pregunta: ¿qué significa que las líneas de campo solenoides terminen en el infinito? Entiendo que este tipo de campo vectorial no tendría sumideros, pero ¿cómo se correlaciona este campo con no tener fuentes en ningún punto?

He analizado el campo vectorial $\mathbf{F}$ para ser un campo de vectores de posición, con la longitud de cada vector en un punto siendo escalado hacia arriba o hacia abajo por un exponente de la distancia del punto desde el origen, según el valor de n. Sin embargo, para $\mathit{n}\neq$ 0, me di cuenta de que en el origen, el numerador y el denominador se convierten en cero.

¿Es correcta esta interpretación del campo dado? Si lo es, ¿cómo podría la divergencia de tal campo ser cero para cualquier valor de n? ¿No es el flujo neto de las líneas de campo en cualquier punto del campo distinto de cero?

Según las identidades de los operadores vectoriales, si $\mathit{f}$ es un campo escalar y $\mathbf{F}$ un campo vectorial, $$\nabla\cdot{f}{\mathbf{F}} = f\nabla\cdot{\mathbf{F}} + \mathbf{F}\cdot{\nabla}{f}$$ Aplicando esta identidad en $\mathbf{F}$ con $\mathbf{r}$ como campo vectorial y $r^{-n}$ siendo el campo escalar, resolví la ecuación y llegué a $$\nabla\cdot\frac{\mathbf{r}}{r^n} = \frac{3 - n}{r^n}$$ Igualando esto a cero, termino con $\mathit{n}$ = 3. Esto describe $\frac{\mathbf{r}}{r^3}$ como un campo vectorial solenoide. Ningún otro valor de n da lugar a un campo de este tipo con $\mathbf{F}$ .

He intentado trazar el campo vectorial $\mathbf{F}$ con $\mathit{n}$ como 3 y algunos otros valores aleatorios, pero no pude observar ninguna diferencia en cuanto a la propiedad libre de divergencia entre ninguno de ellos. ¿Cómo es el caso particular de $\mathit{n}$ = 3 tan especial?

Answer 1

Responderé a dos de sus preguntas:

1. ¿Por qué el valor $n=3$ único en crear un campo solenoide?
2. ¿Por qué este campo es solenoide aunque parezca que no debería serlo?

Para responder $1$ En el caso de que el campo sea simétrico radialmente, hay que mirar el campo en un elemento de volumen esférico.

Tenga en cuenta que el elemento en sí no es esférico, sino que es el elemento de volumen en un sistema de coordenadas esférico; dicho elemento de volumen tiene una especie de "forma de abanico", siendo la cara exterior mayor que la interior. Físicamente, para que no haya divergencia, el campo no puede "acumularse" dentro del elemento, y habría que encontrar el campo que hace que la diferencia entre las áreas de las caras interiores y exteriores se compense con una caída de la magnitud del campo a medida que se avanza hacia el exterior. En 3D, el exponente mágico es $3$ .

Pasando a $2$ Los campos como este son difíciles de identificar como solenoides porque parece que hay una fuente obvia en el origen. De hecho, una integral de superficie que contenga el origen demostraría un valor distinto de cero; pero eso es porque el campo no está definido en el origen. Si se toma la definición de solenoide como "sin divergencia en todos los lugares en los que se define el campo", entonces este campo es efectivamente solenoide, porque cualquier integral de superficie cerrada en una región que no encierre el origen tendrá una divergencia de $0$ .

Answer 2

Si ${\bf v}$ es un campo fluido en algún dominio $\Omega\subset{\mathbb R}^3$ entonces en cada punto $P=(x,y,z)\in\Omega$ la divergencia ${\rm div}\,{\bf v}(P)$ describe un hecho puramente local sobre ${\bf v}$ . En particular, no tiene nada que ver con el posible punto límite de la línea de campo de ${\bf v}$ a través del punto $P$ .

Dibuja una pequeña esfera virtual $\partial B_r$ alrededor de $P$ y calcular el flujo total de ${\bf v}$ fuera de esta esfera. Este flujo será minúsculo, porque en una mitad de la esfera el fluido fluirá hacia $B_r$ y en la otra mitad el fluido saldrá. Tal vez haya una pequeña diferencia. Esta diferencia proviene del fluido que realmente se "produce" (o "elimina") dentro de $B_r$ y es proporcional a ${\rm vol}(B_r)$ . Por lo tanto, tendremos $$\int_{\partial B_r}{\bf v}\cdot{\bf n}\>{\rm d}\omega \ \approx \ c\>{\rm vol}(B_r)\qquad(0<r\ll1)$$ para una determinada constante $c\in{\mathbb R}$ . El valor de esta constante $c$ depende de ${\bf v}$ y en el punto elegido $P$ y se denomina divergencia de ${\bf v}$ en $P$ .

Dada la dimensión $3$ de ${\mathbb R}^3$ sólo hay un valor de $n$ de manera que el valor resultante de $c=0$ . Esto tiene que ver con las velocidades con las que los volúmenes y las superficies de las grandes bolas $B_R$ centrados en el origen aumentan cuando $R\to\infty$ .