¿Se puede utilizar la diagonalización de una matriz definida positiva para calcular su determinante y su inversa?

Question

Tengo una matriz definida positiva $A= E^T DE$ . $A\in \mathcal{R}^{n \times n} $ .

$E$ es una matriz ortonormal $E \in \mathcal{R}^{m \times n}$ formado por n columnas ortonormales donde $m >n $ . Y, $E^T E=I_{n \times n}$ (esto se deduce directamente de la ortonormalidad).

También, $D \in \mathcal{R}^{m \times m}$ es una matriz diagonal.

Obsérvese que esta diagonalización es algo similar a la descomposición del valor singular (svd), pero no tanto como la svd requiere $A=udv^t$ donde $u$ tiene ortonormal columnas no filas como es el caso.

Dada, $E$ y $D$ ¿es posible calcular la inversa y el determinante de A?

Answer 1

No veo ningún método sencillo para calcular el determinante. Lo que sí puedo confirmar es que no hay ninguna función para $\det A$ puramente en términos de $D$ las entradas en $E$ también debe considerarse en cualquier fórmula. Para demostrar esto, todo lo que necesitamos es una matriz diagonal, y dos ortogonales $m \times n$ matrices $E_1, E_2$ tal que $\det A_1 \neq \det A_2$ , donde $A_i = E_i^T D E_i$ .

Dejemos que

\begin {align} D &= \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end {pmatrix} \\ E_1 &= \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {pmatrix} \\ E_2 &= \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end {pmatrix}. \end {align}

Entonces,

\begin {align} A_1 &= \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {pmatrix} \\ &= \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end {pmatrix} \\ A_2 &= \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} \\ &= \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end {pmatrix}, \end {align} que tienen sus respectivos determinantes $2$ y $3$ .