Ejemplos de "No-Lógico Teoremas Demostrados por la Lógica

Question

Todavía soy un estudiante de licenciatura, y así quizás no he visto lo suficiente de el mundo matemático.

Pregunta: ¿cuáles son algunos ejemplos de la lógica matemática resolución de problema fuera de la lógica matemática?

Tenga en cuenta que el Ax-Teorema de Grothendieck habría sido un ejemplo perfecto de esto (es decir, Si $P$ es una función polinómica de $\mathbb{C}^n$ a $\mathbb{C}^n$ y $P$ es inyectiva entonces $P$ es bijective). Sin embargo, aunque hay una hermosa prueba lógica de este resultado, fue probada por primera vez no específicamente con el uso de la lógica matemática. Soy curioso en cuanto a si existe algún tipo de resultados, donde "los lógicos llegó primero".

Edit 1:Bono: soy curioso si uno puede publicar un ejemplo de la Inversa de las Matemáticas.

Edit 2:Este post me recordó que la solución a Whitehead, el Problema vino a partir de la lógica (un problema en teoría de grupos). Según el artículo de la wikipedia, la prueba por Sela fue "completamente inesperado". Se utiliza el hecho de que ZFC+V=L) implica cada Whitehead grupo es libre, mientras que ZFC+$\neg$CH+MA implica que existe una Whitehead grupo que no es libre. Desde estos dos separados axioma sistemas de equiconsistent, por lo tanto Whitehead, el problema es indecidible.

Edit 3: Un año más tarde, tenemos algunos ejemplos más:

1) Hrushovski la Prueba de la Mordell-Lang Conjetura de funcionamiento de los campos y en todas las características.

2) La Andre-Óort conjetura por Pila y Tsimerman.

3) los Diversos resultados en O-minimality incluyendo el trabajo de Wilkie y van den Dries (así como otros).

4) Zilber del Pseudo-Exponencial Campo de trabajo hacia Schanuel de la conjetura.

Answer 1

Yo estaba impresionado por Bernstein y Robinson 1966 prueba de que si algún polinomio de un operador en un espacio de Hilbert es compacto, a continuación, el operador tiene un subespacio invariante. Esto resuelve un caso particular de subespacio invariante problema, uno de puro operador de la teoría, sin ningún atisbo de lógica.

Bernstein y Robinson utiliza hyperfinite-dimensional espacio de Hilbert, un modelo no estándar, y algunos muy metamathematical cosas, como la transferencia de principio y de saturación. Halmos era muy infeliz con su prueba y eliminado no-estándar de análisis desde el mismo año. Pero el hecho es que la prueba fue encontrada originalmente a través de la no-trivial de la aplicación del modelo de la teoría.

Otro ejemplo es la solución a los Hilbert del décimo problema por Matiyasevich. Hilbert pidió un procedimiento para determinar si un polinomio de la ecuación de Diophantine es solucionable. Este fue un número teórico del problema, y que no espera que dicho procedimiento no puede existir. Demostrar la no-existencia a pesar de que se requiere el desarrollo de una rama de la lógica matemática que ahora se llama la teoría de la computabilidad (por Gödel, Church, Turing y otros) que formaliza el concepto de algoritmo. Matiyasevich mostró que cualquier recursivamente enumerable conjunto puede ser el conjunto solución de una ecuación de Diophantine, y dado que no todos los recursivamente enumerable conjuntos computables, no puede haber ninguna solvencia algoritmo.

Este es un ejemplo típico de cómo la lógica sirve todas las partes de las matemáticas por el ahorro de esfuerzo condenado busca construcciones imposibles, pruebas o contraejemplos. Por ejemplo, un analista podría preguntar si el avión puede ser descompuesto en una unión de dos conjuntos, uno en la mayoría de los contables a lo largo de cada línea vertical, y la otra a lo largo de cada línea horizontal. Parece raro y la gente podía pasar mucho tiempo tratando de refutar. En vano, porque Sierpinski demostrado que la existencia de tal descomposición es equivalente a la hipótesis continua, y Gödel demostró que refutar es imposible por una elaborada construcción lógica que ahora se llama interior de modelo. Como se está demostrando como Cohen mostró aún más elaborada construcción lógica denomina forzamiento.

Answer 2

El Tarski–Seidenberg teorema dice que el conjunto de semialgebraic conjuntos es cerrado bajo la proyección. Es un puro real algebraicas declaración que originalmente fue demostrado con la lógica.

Jacobson dice en el capítulo 5 de su Álgebra Básica I:

De manera más general, del teorema de Tarski implica su metamathematical principio de que cualquier "elemental", sentencia del álgebra que es verdadero en un verdadero campo cerrado (por ejemplo, el campo de los números reales) es verdadera en un campo cerrado.

Answer 3

No estoy seguro si esto califica, pero el teorema de Goodstein que parece bastante número teórico y establece que cualquier Goodstein secuencia converge, se demostró el uso de los números ordinales.

Answer 4

De modo automatizado teorema de provers consisten en una aplicación de la lógica matemática. En consecuencia, la solución de la Robbins conjetura por William McCune utilizando EQP califica como la resolución de un problema abierto fuera de la lógica matemática mediante el uso de la lógica matemática.

Answer 5

El teorema de compacidad da muchas maneras de generar teoremas de la forma "si todos finito de $X$s tienen la propiedad de $P$, entonces eso es lo que todos infinito $X$s".

Un ejemplo al azar de la Campana y Slomson Modelos y Ultraproducts:

Deje que $B$ a ser un conjunto infinito de chicos cada uno de los cuales tiene más de un número finito de número de novias. Si para cada número entero $k$, $k$ de los chicos han entre ellos, al menos, $k$ amigas, entonces es posible para cada niño casarse con una de sus amigas sin que ninguno de ellos cometiendo bigamia.

Esto puede ser deducido (con algo de trabajo) mediante el teorema de compacidad con este finito versión del lema:

Si $C$ es un conjunto de m $de$ los niños y por cada $k\le m$, cualquier k de los chicos tienen en menos k amigas entre ellas, entonces es posible que cada niño para casarse con una de sus amigas sin que ninguno de ellos cometiendo bigamia.

Hay un número de los mejores ejemplos aquí: Más sorprendentes aplicaciones del teorema de compacidad fuera de la lógica

(Aunque, si usted está buscando para las aplicaciones del mundo real de la lógica, creo que el tipo de teoría de los lenguajes de programación es un grande.)