Conexión entre el producto cruzado y el determinante

Question

Esta puede ser una pregunta estúpida para algunos, pero cuando calculo un producto cruzado de dos vectores. Por ejemplo, la primera coordenada de la solución. Puse mi dedo en la primera línea, luego calculo algo que parece el determinante de una matriz 2x2.

¿Hay alguna conexión entre matrices y el producto cruzado?

Lo siento si eso es una estupidez, pero estoy en el segundo semestre y no he encontrado una respuesta en internet.

¡Gracias por su ayuda!

Answer 1

Tal vez esta no sea la respuesta que estás buscando, pero una expresión para el determinante de una matriz 3x3 con columnas <span class="math-container">$\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3$</span> es <span class="math-container">$$ \vec v_1\cdot(\vec v_2\times\vec v_3) $$</span> Usted puede dar sentido a este álgebra o geométricamente (recuerde que el determinante es el volumen de un paraleloipiped cuyos lados son dados por los tres vectores).

Answer 2

Si <span class="math-container">$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$</span> son los tres vectores básicos de <span class="math-container">$\mathbb{R}^3$,</span> entonces el producto cruzado de vectores <span class="math-container">$(a,b,c), (p,q,r)$</span> es el determinante de la matriz <span class="math-container">$$\left(\begin{array}{lll}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\ a &b & c\ p&q &r\end{array}\right)$$</span> por definición. Las coordenadas de ese vector se obtienen expandiendo este determinante a lo largo de la primera fila.

Answer 3

Esto es en la mayoría de cada libro de texto. La definición habitual del producto cruzado es el determinante formal <span class="math-container">$$\vec v\times\vec w = \left|\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \ v_1 & v_2 & v_3 \ w_1 & w_2 & w_3 \end{matrix}\right|.$$</span> Como usted indicó en su pregunta, se expande en cofactores a lo largo de la primera fila.