Factorización $ab^3 - a^3 b + bc^3 - b^3 c + ca^3 - c^3 a$

Question

Factor $$ab^3 - a^3 b + bc^3 - b^3 c + ca^3 - c^3 a$$

Usé el teorema del factor para obtener los factores $$f(a, b, c)=(a-b)(b-c)(a-c)\;g (a, b, c)$$ para algún polinomio $g (a, b, c)$ .

¿Cómo puedo seguir utilizando este método?

(perdón por la pregunta anteriormente desordenada soy nuevo en esta web y no entendí bien las directrices).

Answer 1

A partir del grado del polinomio original (4) y del grado del factor que has encontrado (3), el factor restante tiene que ser de grado 1. Como ese factor tiene simetría cíclica entre $a$ , $b$ y $c$ debe ser un múltiplo escalar de $a+b+c$ . Una valoración de prueba con, digamos, $a=0$ , $b=1$ y $c=2$ le dará el número de escala.

Answer 2

$$ab^3-a^3b+bc^3-b^3c+ac^3-a^3c$$ $$=ab(a+b)(b-a)+bc (b+c)(c-b)+ac (a+c)(a-c)$$ $$=ab( (a+b+c)-c)(b-a)+bc ((a+b+c)-a)(c-b)+ac ((a+b+c)-b)(a-c)$$ $$=(a+b+c) [ab (b-a)+bc (c-b)+ac (a-c)]-abc (b-a+c-b+a-c)$$ $$=(a+b+c) [ab (b-a)+bc (c-b)+ac (a-c)]+0$$$$=(a+b+c)[(a-b)(b-c)(c-a)]$$

Answer 3

El método de @JohnBentin es el más hábil, pero si no quieres comprobar un ejemplo para obtener el factor de escala, deja que $x:=b^2-a^2,\,y:=c^2-b^2$ por lo que su suma es $$\begin{align}abx+bcy-ca(x+y)&=a(b-c)x+c(b-a)y\\&=a(b-c)(b-a)(b+a)+c(b-a)(c-b)(c+b)\\&=(b-a)(c-b)(c(c+b)-a(b+a))\\&=(b-a)(c-b)(c^2+bc-ab-a^2)\\&=(b-a)(c-b)(c-a)(a+b+c).\end{align}$$ De hecho, su método te ayuda a adivinar algunos componentes de este cálculo a medida que avanzas, por lo que no es tan agotador como parece.