¿Es posible tener dos normas en el mismo espacio, siendo la topología de una de ellas estrictamente más fina que la de la otra, y sin embargo el espacio es completo en ambas normas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto no es posible. Fijar un espacio $X$ con dos normas completas $\|\cdot\|_1, \|\cdot\|_2$ tal que la topología inducida por $\|\cdot\|_1$ es más fina que la inducida por $\|\cdot\|_2$ . Sea $B_i$ denotan la bola unitaria para $\|\cdot\|_i$ .
En particular, $B_2$ también está abierto para $\|\cdot\|_1$ y por eso hay $\varepsilon > 0$ tal que $\varepsilon B_1 \subseteq B_2$ . Por lo tanto, $\frac{\varepsilon}{2} S_1 \subseteq \varepsilon B_1 \subseteq B_2$ donde $S_1 = \{x: \|x\|_1 = 1\}$ . Esto significa que por cada $x \in X$ tenemos que $$\left \| \frac{\varepsilon x}{2 \|x\|_1} \right \|_2 \leq 1$$ lo que implica que $$\|x\|_2 \leq \frac{2}{\varepsilon} \|x\|_1.$$ Es decir, el mapa de identidad de $(X, \|\cdot\|_1)$ a $(X, \| \cdot \|_2)$ es continua. Por lo tanto, por el teorema de los mapas abiertos, el mapa de identidad de $(X, \| \cdot \|_2)$ a $(X, \|\cdot\|_1)$ también es continua, lo que significa que $$\|x\|_1 \leq C \|x\|_2$$ para alguna constante $C$ . Por lo tanto, las dos normas son equivalentes e inducen la misma topología.
1 votos
¿Quieres definitivamente normas, o te conformarías con métricas?
1 votos
Normalmente se definen normas para espacios vectoriales, así que me ceñiré al caso de los VS reales/complejos. No es posible para los de dimensión finita, ya que cada norma allí define la misma topología, pero creo que debería funcionar en espacios vectoriales de dimensión infinita; sin embargo, no estoy lo suficientemente capacitado en análisis funcional para dar un ejemplo.
1 votos
@BrianM.Scott Norm
0 votos
Prueba las funciones que son analíticas en el disco unitario cerrado.
0 votos
@CharlieFrohman que normas aunque
0 votos
@BrianM.Scott ¿qué tal si $l^p$ y $L^q$ normas en el espacio de las funciones integrables