¿Alguien se ha encontrado con la siguiente función $u_k: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$ ?

Question

Estoy buscando información y terminología para la función $u_k(n) = \sum_{i=1}^n w_k(i)$ , donde $w_k(i)$ es la mayor potencia de $k$ que divide $i!$ . Creo que la función $w_k(n)$ puede llamarse fórmula de Legendre.

Answer 1

Podemos hacer una afirmación sobre la asintótica de esta suma. Primero cambiemos ligeramente la notación para no dar la impresión de que el índice de la suma es de alguna manera un número complejo. Pongamos $$u_k(n) = \sum_{q=1}^n w_k(q).$$ Entonces, por un conteo directo de las contribuciones involucradas encontramos que $$u_k(n) = \sum_{q=1}^n \sum_{p=1}^q v_k(p)$$ donde $v_k(p)$ es el exponente de la mayor potencia de $k$ que divide $p.$

Reescriba esto de la siguiente manera: $$u_k(n) = w_k(n) + \sum_{q=1}^{n-1} \sum_{p=1}^q v_k(p).$$ Ahora bien, antes de continuar, observe que tenemos el siguiente límite en el que $k$ es primo $$w_k(n) = \sum_{p=1}^n v_k(p) = \sum_{m=1}^{\lfloor \log_k n \rfloor} \lfloor n/k^m \rfloor \le n \sum_{m=1}^{\lfloor \log_k n \rfloor} 1/k^m = \frac{n}{k} \frac{1-1/k^{\lfloor \log_k n \rfloor}}{1-1/k} \\= \frac{n}{k-1} (1-1/k^{\lfloor \log_k n \rfloor}).$$ También obtenemos el límite inferior $$w_k(n) = \sum_{p=1}^n v_k(p) = \sum_{m=1}^{\lfloor \log_k n \rfloor} \lfloor n/k^m \rfloor \ge \sum_{m=1}^{\lfloor \log_k n \rfloor} (n/k^m-1) \\ = \frac{n}{k-1} (1-1/k^{\lfloor \log_k n \rfloor})- \lfloor \log_k n \rfloor.$$ Uniendo estos dos límites tenemos que para $k$ prime $$w_k(n) \sim \frac{n}{k-1}$$ y $$u_k(n) \sim \frac{1}{k-1} \sum_{q=1}^n q = \frac{1}{2} \frac{1}{k-1} n (n+1).$$ Ahora un poco de pensamiento muestra que cuando $k$ no es primo el mayor factor primo de $k$ Llámalo $m$ al poder $r$ para que $r$ es el máximo tal que $m^r|k$ domina asintóticamente y tenemos $$u_k(n) \sim \frac{1}{2} \frac{1}{m-1} \frac{1}{r} n (n+1).$$

A continuación aplicamos la fórmula de suma de Mellin-Perron para confirmar estas asintóticas. Sea $k$ sea primo. Entonces tenemos $$u_k(n) = w_k(n) + \frac{n}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} L_k(s) n^s \frac{ds}{s(s+1)}$$ donde $$L_k(s) = \sum_{q\ge 1} \frac{v_k(q)}{q^s}.$$ Necesitamos encontrar una forma cerrada para $L_k(s)$ que obtenemos del siguiente producto de Euler: $$L_k(s) = \prod_p \frac{1}{1-1/p^s} \times (1-1/k^s) \times \sum_{q\ge 0} \frac{q}{k^{qs}}$$ que se simplifica a $$L_k(s) = \zeta(s) \times (1-1/k^s) \times \frac{1/k^s}{(1-1/k^s)^2} = \zeta(s) \frac{1/k^s}{1-1/k^s} = \zeta(s) \frac{1}{k^s-1}.$$ Necesitamos examinar los polos del integrando para evaluar la integral de Mellin-Perron. Hay un polo simple en $s=1$ de la función zeta, un doble polo en $s=0$ , otro polo simple en $s=-1$ y polos simples en $\frac{2\pi i q}{\log k}$ con $q$ un número entero no nulo. Sin embargo, aplicaremos el teorema de Wiener-Ikehara, que es aplicable aquí y, por tanto, sólo necesitamos la contribución de $s=1$ que es $$n\times \frac{1}{k-1} \times n \times \frac{1}{1\times 2} = \frac{1}{2} \frac{1}{k-1} n^2.$$ Y, efectivamente, Mellin-Perron ha confirmado la asintótica que calculamos antes por medios elementales.