¿Por qué tengo que desplazar el índice de una serie infinita después de la diferenciación?

Question

Cuando se representa en una expansión de Taylor, $\sin(x)$ resulta ser una serie infinita. Puedo diferenciar $\sin(x)$ infinitas veces, y evaluarlo en algún momento.

Pero cuando diferencio la serie correspondiente, es necesario el desplazamiento del índice, pero me pregunto por qué.

$sin(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^n x^(2x+1) }{(2n+1)!}$ = x-x³/3.....

$\frac{d²}{dx²}sin(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^n x^(2x-1) }{(2n-1)!}$ = $\frac{1}{x(-1!)}-x²/2 .....$

Answer 1

Veamos primero la serie.

$$\sin(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$

Por cada vez que se diferencia, hay que restar uno al exponente de $x$ es decir

$$\frac{\mathrm{d}x^k}{\mathrm{d}x}=k\cdot x^{k-1}$$

Sin embargo, hay que tener en cuenta que no podemos abreviar la diferenciación secuencial en general como

$$\frac{\mathrm{d^n}x^k}{\mathrm{d}x^n}=\frac{k!}{(k-n)!}x^{k-n}$$

Un contraejemplo fácil sería

$$\frac{\mathrm{d^3}x^2}{\mathrm{d}x^3}=2\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}x^2}=2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}1 = 0$$

que obviamente es diferente de $x^{2-3}=x^{-1}$ . Por lo tanto, esto sólo es válido si $n \leq k$ .

Para evitar que esto ocurra en nuestra serie infinita, tenemos que desplazar el índice en consecuencia, para que no tengamos estos términos, que terminarían en cero en el medio.

$$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\sin(x)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k+1-2}}{(2k+1-2)!}$$

Si nuestro índice no empezara en $k=1$ entonces nuestro primer término sería $x^{2\cdot 0 + 1 - 2} = x^{-1}$ . ¡Ups!

Por eso hay reindexación. Sin embargo, podemos volver a indexar a cero, desplazando el índice en el exponente y en el factorial en la otra dirección.

Así que casi terminamos con nuestra serie inicial

$$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}\sin(x)=-\sin(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$