Probar las desigualdades: Inecuaciones AM-GM-HM, Cauchy-Schwarz/reglamentación..

Question

Bien, tengo dos preguntas (creo que son bastante sencillas, por eso las he juntado), ambas relacionadas con desigualdades que están resultando un reto. He aprendido las desigualdades AM-GM-HM, la desigualdad de reordenación y la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

A. Demuestre que para los reales positivos $a, b, c$ , de tal manera que $abc \le 1$ $$\frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \ge a + b + c$$

He buscado en esta página web y en Google soluciones, sugerencias, pero la mayoría de las veces me he quedado con las manos vacías. He visto soluciones muy parecidas, pero ninguna me ha servido. Vi esta solución exacta:

Es fácil demostrar que $$\frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \ge \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}}$$ y como $abc \le 1$ entonces $\frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \ge a + b + c$ según sea necesario.

No me queda claro cómo llegaron a esto en particular $\frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \ge \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}}$ . Siento que es obvio, pero no puedo verlo. Así que si alguien puede explicar qué desigualdad / truco se utilizó, estaría agradecido.

Mi intento (que creo que es completamente erróneo) es el siguiente.

$\frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \ge a + b + c$

por la desigualdad AM-GM $\frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \ge 3\sqrt[3]{\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}} = 3$

también por AM-GM $a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$

pero $abc\le 1$

$\implies 3\sqrt[3]{abc} \le 3$

y por lo tanto

$\frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \ge a + b + c$

B. Dejemos que $a_1, a_2, ... , a_n$ sean enteros positivos distintos. Demostrar que $$\frac{a_1}{1^2} + \frac{a_2}{2^2} + ... + \frac{a_n}{n^2} \ge \frac{1}{1} + \frac{1}{2} +...+ \frac{1}{n}$$

Un amigo mío decidió utilizar la desigualdad de reordenación, pero yo no lo veo muy claro. He intentado usar Cauchy/Schwarz pero no he llegado muy lejos. Si alguien puede dar una pista o un empujón en la dirección correcta en cuanto a qué desigualdad debo utilizar para este lo agradecería.

Answer 1

Para la primera desigualdad, el truco consiste en aplicar la desigualdad AM-GM a cada uno de los tres términos de $${a\over{\sqrt[3]{abc}}} + {b\over{\sqrt[3]{abc}}}+ {c\over{\sqrt[3]{abc}}} .$$ (pase el ratón por encima para ver el spoiler)

$${a\over{\sqrt[3]{abc}}}=\sqrt[3]{a^3\over abc}=\sqrt[3]{\frac ab\cdot\frac ab\cdot\frac bc}$$

Pista para la segunda desigualdad: aplicar la desigualdad de reordenación a $a_1, a_2, \ldots,a_n$ y ${1\over1^2},{1\over2^2},\ldots,{1\over n^2}$ . Una vez hecho esto, argumenta que el resultado es el siguiente.

Answer 2

Demuestre que para los reales positivos, $a, b, c$ tal que $abc \le 1$ $$\frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} \ge a+b+c$$

ANS:

Desde $abc \le 1 \implies \frac{1}{abc} \ge 1$ y por lo tanto

$$\frac{1}{ac}\ge b, \space \frac{1}{ab}\ge c \space\text{and} \frac{1}{bc}\ge a$$

Ahora considere $\frac{a}{c} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b}$

Utilizando la desigualdad AM-GM se obtiene

$$\frac{a}{c} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b} \ge 3\sqrt[3]{\frac{a}{c} \cdot \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b}} = 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}$$

Pero desde arriba, $\frac{1}{bc} \ge a$

$$\implies \frac{a}{c} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b} \ge 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}} \ge 3\sqrt[3]{a^3} = 3a$$

Ahora considere también $\frac{b}{a} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c}$ y $\frac{c}{b} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a}$ y aplicar la desigualdad AM-GM y utilizar $\frac{1}{ac}\ge b$ y $\frac{1}{ab}\ge c$ de lo anterior, obtenemos

$$\implies \frac{b}{a} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} \ge 3\sqrt[3]{\frac{b^2}{ac}} \ge 3\sqrt[3]{b^3} = 3b$$ $$\implies \frac{c}{b} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} \ge 3\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}} \ge 3\sqrt[3]{c^3} = 3c$$

Añadiendo ambos lados: $$\frac{a}{c} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b} +\frac{b}{a} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} +\frac{c}{b} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} \ge 3a+3b+3c \\3\left( \frac{a}{c} +\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right) \ge 3(a+b+c)$$

Dejemos que $a_1, a_2, ... , a_n$ sean enteros positivos distintos. Demostrar que $$\frac{a_1}{1^2} + \frac{a_2}{2^2} + ... + \frac{a_n}{n^2} \ge \frac{1}{1} + \frac{1}{2} +...+ \frac{1}{n}$$

ANS:

Dejemos que $a_1, a_2,...,a_n$ y $\frac{}{}, \frac{}{},...,\frac{}{}$ sean dos secuencias de reales y $a_1', a_2',...,a_n'$ sea una permutación de $a_1, a_2,...,a_n.$ Ahora bien, como $a_1, a_2,...,a_n$ son enteros positivos distintos, entonces $a_i' \ge i \forall i$

Ahora aplicando la desigualdad de reordenación obtenemos,

$$\frac{a_1}{1^2} + \frac{a_2}{2^2} + ... + \frac{a_n}{n^2} \ge \frac{a_1'}{1^2} + \frac{a_2'}{2^2} + ... + \frac{a_n'}{n^2} \ge \frac{1}{1^2} + \frac{2}{2^2} + ... + \frac{n}{n^2} \ge \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} $$