Puedo reducir esto al caso de extensiones de campos ciclotómicos, incrustando la extensión abeliana en una extensión ciclotómica y utilizando el lema de "deslizamiento".
Estoy atascado en cómo demostrar esto para el caso ciclotómico.
He visto esto en la wikipedia y me ha intrigado.
$Q(w + w^{-1})$ es cuadrática y totalmente real, esto último porque la conjugación compleja está en el grupo abeliano de Galois (y por tanto conmuta con cualquiera de los elementos de Galois), y lo primero porque si $k = w + w^{-1}$ entonces $x^2 - kx + 1$ es un polinomio mínimo cuadrático para w sobre Q(k).
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