Demostrar que para $a,b > 0$ tenemos $\int_{0}^a f(x)dx+\int_{0}^b f^{-1}(x)dx \geq ab$

Question

Supongamos que $f$ es una función continua y estrictamente creciente sobre $\mathbb{R}$ con $f(0) = 0$ . Demostrar que para $a,b > 0$ tenemos $\displaystyle \int_{0}^a f(x)dx+\int_{0}^b f^{-1}(x)dx \geq ab$ . ¿Cuándo se mantiene la igualdad?

Intento

Es fácil ver que para $a \neq c$ tenemos $$\displaystyle \int_{0}^a f(t) dt > \int_{0}^c f(t)dt + f(c)(a-c)$$ con igualdad si y sólo si $a = c$ . Por lo tanto, si $c = f^{-1}(b)$ entonces $$\displaystyle \int_{0}^a f(t)dt \geq \int_{0}^{f^{-1}(b)}f(t)dt + ab -bf^{-1}(b).$$ ¿Cuál sería la forma más fácil de terminar desde aquí?

Answer 1

Empecemos por el planteamiento del PO. Entonces, tenemos

$$\int_0^a f(x)\,dx\ge \int_0^{f^{(-1)}(b)} f(t)\,dt + ab - bf^{(-1)}(b) \tag 1$$

Dado que la integral del lado derecho de $(1)$ puede escribirse como

$$\int_0^{f^{(-1)}(b)} f(t)\,dt=bf^{(-1)}(b)-\int_0^b f^{(-1)}(x)\,dx$$

encontramos después de simplificar y reordenar los términos la codiciada desigualdad

$$\int_0^a f(x)\,dx + \int_0^{b} f^{-1}(x)\,dx \ge ab$$

con igualdad si y sólo si $f(a)=b$ . ¡Y ya está!

---

Enfoque alternativo

Aquí presentamos un enfoque alternativo bajo el supuesto adicional de que $f(x)$ es diferenciable. Para ello, procedemos.

Dejemos que $G(a,b)$ sea la función dada por

$$G(a,b)=\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^b f^{(-1)}(x)\,dx-ab$$

Tenga en cuenta que $G(0,0)=0$ . Ahora, observemos que tenemos las primeras derivadas parciales

$$\begin{align} \frac{\partial G(a,b)}{\partial a}&=f(a)-b\\\\ \frac{\partial G(a,b)}{\partial b}&=f^{(-1)}(b)-a \end{align}$$

y las segundas derivadas parciales

$$\begin{align} \frac{\partial^2 G(a,b)}{\partial a^2}&=f'(a)\\\\ \frac{\partial^2 G(a,b)}{\partial b^2}&=\left(f^{(-1)}\right)'(b)\\\\ \frac{\partial^2 G(a,b)}{\partial a \partial b}&=-1\\\\ \end{align}$$

Desde $f$ es estrictamente creciente, $f(a)\left(f^{(-1)}\right)'(b)>0$ y el determinante del hessiano es, por tanto, siempre positivo. Por lo tanto, $G(a,b)$ es un mínimo cuando $f(a)=b$ y $f^{(-1)}(b)=a$ . Por lo tanto, el mínimo es,

$$\min_{(a,b)}G(a,b)=\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^{f(a)} f^{(-1)}(x)\,dx-ab=0$$

Por lo tanto, $G(a,b)\ge 0$ con la igualdad que se mantiene sólo para $(a,b)=(a,f(a))$ . Finalmente, podemos escribir para $a>0$ y $b>0$

$$\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^b f^{(-1)}(x)\,dx\ge ab$$

con la igualdad sólo cuando $b=f(a)$ .

Answer 2

Puedes imaginar tu curva como un garabato en el primer cuadrante que se mueve hacia arriba y hacia la derecha (partiendo del origen). Dibuja cualquier forma como ésta (incluso una línea recta). La primera integral $$ \int_0^af(x)dx $$ calcula el área en la región por debajo de la curva para $x$ -valores inferiores a $a$ . Sombree esta región en su dibujo (es como una región triangular bajo la curva cuya base es el $x$ -eje).

La segunda integral $$ \int_0^bf^{-1}(x)dx $$ calcula el área a la izquierda de la curva y por debajo de la línea $y=b$ . Sombree esta región en su dibujo (es como una región triangular a la izquierda de la curva cuya base es el $y$ -eje).

Consideremos el rectángulo cuyas dimensiones son $a$ en el $x$ -eje y $b$ en el $y$ eje. Este rectángulo tiene un área $ab$ y está dentro de su región sombreada, y, esto da su desigualdad (el área en el LHS contiene el área en el RHS).

El caso en el que son iguales es cuando la esquina superior derecha del rectángulo está en la curva y es el punto final de la integración (en otras palabras, cuando la región de integración es exactamente el rectángulo). Esto ocurre sólo cuando $f(a)=b$ .