Sí, estás en la dirección correcta. Recordemos que la inercia de una matriz simétrica siempre se conserva bajo transformaciones de congruencia $\mathbf A\mapsto\mathbf X\mathbf A\mathbf X^\top$ y su primer paso de reducción a la forma tridiagonal mediante las transformaciones de Householder (con $\mathbf X$ siendo ortogonal) es exactamente una transformación de congruencia.
Ahora, desde su matriz original $\mathbf A$ tienes $\mathbf A=\mathbf Q\mathbf T\mathbf Q^\top$ con $\mathbf T$ tridiagonal. A partir de aquí, hay una serie de métodos que se pueden utilizar para determinar la inercia de una matriz tridiagonal simétrica. En la mayoría de los casos, puedes intentar calcular la $\mathbf L\mathbf D\mathbf L^\top$ descomposición de su matriz tridiagonal, donde $\mathbf L$ unidad bidiagonal inferior, y $\mathbf D$ es diagonal, por lo que la inercia de su matriz tridiagonal viene dada por el número de elementos positivos, nulos y negativos de la matriz diagonal $\mathbf D$ .
Por supuesto, esa estrategia ingenua no funcionará si la submatriz principal de $\mathbf T$ es singular. Sin embargo, lo hay, un algoritmo de James Bunch (ver este para más detalles, y este para una realización en MATLAB (pero escrito para mayor claridad a expensas de la eficiencia de almacenamiento)), donde $\mathbf T$ se descompone como $\mathbf L\mathbf B\mathbf L^\top$ , donde esta vez $\mathbf B$ es una diagonal en bloque, con un escalar o $2\times 2$ bloques. La inercia se evalúa entonces a partir de $\mathbf B$ . Consulte los enlaces para obtener más detalles.
