No tengo ninguna prueba, pero esta es mi intuición:
Dudo que haya alguna condición general además de la obvia
$$\forall x(\alpha \to \beta) \leftarrow (\forall x \alpha \to \forall x \beta). \tag{1}$$
El problema es que podría ser cierto por muchas razones diferentes, por ejemplo, que el universo sea de tamaño uno o quizás el $\forall x \beta$ es verdadera y hace que la implicación sea trivial. Obsérvese que $\forall x(\alpha \to \beta)$ significa que un solo $x$ Satisfaciendo a $\alpha$ es suficiente para que $\beta$ verdadero (algunas aclaraciones: sí no significa que $\beta$ es cierto en general, es cierto sólo para ese particular $x$ ). Por otro lado $\forall x \alpha \to \forall x \beta$ significa que necesita $\alpha$ para que se mantenga para todos los $x$ es para satisfacer $\beta$ . Por ejemplo, supongamos que el universo tiene más de un elemento, entonces:
$$\forall x \Big(P(x) \to \exists y \big(P(x) \land P(y)\big)\Big)$$ sería del primer tipo (porque se puede establecer $y = x$ ), mientras que $$\forall x P(x) \to \forall x \exists y(P(x)\land P(y) \land x \neq y)$$
es el segundo tipo, porque hay que saber, que hay al menos dos $x$ es que satisfacen $P$ . Así que la condición general sería algo así como "desde el $\forall x \alpha$ sólo necesita uno $x$ para hacer $\beta$ verdadero", pero eso es exactamente $(1)$ .
Espero que haya explicado algo ;-)
