¿Qué ocurre si multiplicamos por $K^{-1}$ desde la izquierda en $$A k = \lambda k $$ ? Una pequeña historia de fondo: Estaba tratando de encontrar una manera más simple de probar que $P(A)K=P(\lambda)K$ y luego pensé en hacer lo que preguntaba en el título hasta que llegué a $P(A)=P(\lambda)$ que es lo que yo pensaba que era el enunciado de Cayley-Hamilton, ahora sé que sólo debe aplicarse a la ecuación característica así que ahora estoy perdido...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar en $$AK=\lambda K$$ K es un vector no una matriz por lo que no podemos encontrar $K^{-1}$ por lo que tenemos que resolver el vector no nulo $K$ para satisfacer $$AK=\lambda K$$
En segundo lugar, usted mencionó que $$P(A)=P(\lambda)$$ y ese no es el caso porque $P(A)$ es una matriz y $P(\lambda) $ es un polinomio. El teorema de Cayley-Hamilton se refiere a $P(A)=0$ para el polinomio característico de la matriz $A$ no la igualdad $P(A)=P(\lambda)$ que tienen diferentes dimensiones.
