Resolución del sistema de $9$ ecuaciones lineales en $9$ variables

Question

Tengo un sistema de $9$ ecuaciones lineales en $9$ variables:

\begin {array}{rl} -c_{1}x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7} + x_{8} + x_{9} &= 0 \\ x_{1} - c_{2}x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7} + x_{8} + x_{9} &= 0 \\ x_{1} + x_{2} - c_{3}x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7} + x_{8} + x_{9} &= 0 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} - c_{4}x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7} + x_{8} + x_{9} &= 0 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} - c_{5}x_{5} + x_{6} + x_{7} + x_{8} + x_{9} &= 0 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} - c_{6}x_{6} + x_{7} + x_{8} + x_{9} &= 0 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} - c_{7}x_{7} + x_{8} + x_{9} &= 0 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7} - c_{8}x_{8} + x_{9} &= 0 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7} + x_{8} - c_{9}x_{9} &= 0 \end {array}

Quiero encontrar una solución general no trivial para ello. ¿Cuál sería la forma más fácil y menos lenta de encontrarla a mano? No tengo mucha experiencia en matemáticas, así que agradecería mucho que encontraran la solución y la explicaran brevemente.

Gracias de antemano.

EDITAR: Es muy importante mencionar que siempre cualquier $c_{i} > 1$ y cualquier $x_{i} \geq 20$ . También estaría bien que alguien publicara cómo sería una solución general no trivial en forma de $$S = \left \{( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7}, x_{8}, x_{9}\right )\}$$

Answer 1

Si $T = x_1 + x_2 + \ldots + x_9$ se puede escribir como $$ T - (1+c_1) x_1 = T - (1 + c_2) x_2 = \ldots = T - (1+c_9) x_9 = 0$$

Si cualquier $c_i = -1$ entonces $T = 0$ y cualquier $x_j$ para lo cual $c_j \ne -1$ debe ser $0$ mientras que aquellos para los que $c_j = -1$ debe añadir a $0$ .

Por otro lado, si todos los $c_i \ne -1$ , entonces cada $x_i = T/(1+c_i)$ y luego $$T = x_1 + \ldots + x_9 = T \left( \dfrac{1}{1+c_1} + \ldots + \dfrac{1}{1+c_9}\right) $$ Como quieres una solución no trivial, no quieres $T=0$ lo que haría que todos $x_i = 0$ . Así que entonces necesitas $$ \dfrac{1}{1+c_1} + \ldots + \dfrac{1}{1+c_9} = 1$$ y $T$ puede ser cualquier cosa.

EDIT: La condición añadida de que todos los $c_i > 1$ descarta el caso de que algunos $c_i = -1$ , por lo que necesita $1/(1+c_1) + \ldots + 1/(1+c_9) = 1$ . Usted quiere $x_i \ge 20$ y como $x_i = T/(1+c_i)$ que dice $T \ge 20 (1+c_i)$ . Así que ahora las soluciones son $$ (x_1, \ldots, x_9) = \left(\dfrac{T}{1+c_1}, \ldots, \dfrac{T}{1+c_9}\right)$$ donde $1/(1+c_1) + \ldots + 1/(1+c_9) = 1$ y $T \ge 20 (1 + \max(c_1, \ldots, c_9))$ .

Answer 2

obviamente $x_i = 0$ es una solución. Si quieres una solución no trivial

Si se restan dos líneas cualesquiera, se obtiene $(c_i+1)x_i = (c_j+1)x_j = 0$

Si cualquier $c_j = -1$ tenemos todos $(c_i + 1)x_i = 0$ por lo que si $c_i \ne -1$ entonces $x_i = 0$ y si $c_i = -1$ entonces $x_i$ puede ser cualquier cosa.

Si ninguno de los $c_i = -1$ entonces deja que $(c_i + 1)x_i = M \ne 0$ .

Entonces $x_i = M/(c_i+1)$ . Pero, ¿es eso posible?

Cada línea es $(\sum_{i= 0}^9 M/(c_i+1) ) - M = 0$

Así que $\sum_{i=0}^9 1/(c_i + 1) = 1$ .

No hay soluciones distintas de cero a menos que se cumpla ese criterio tan improbable.

Así que

(recapitulación)

1) $x_i= 0$ es una solución.

2) Si se trata de $c_i = -1$ entonces $x_i = \begin{cases} anything; c_i = -1 \\ 0; c_i \ne -1 \end{cases}$

3) Si $c_i \ne -1 \forall i$ entonces $x_i = M/(c_i +1)$ será una solución SI cualquiera de las líneas sume 0, lo que ocurrirá si y sólo si $\sum \frac 1{c_i + 1} = 1$ .

Answer 3

Este es un método de álgebra lineal. En primer lugar, tomarías los coeficientes de cada una de tus variables y los pondrías en una matriz: $$ \begin{bmatrix}-c_1 &1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-c_2&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&-c_3&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&-c_4&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-c_5&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&-c_6&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&-c_7&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&-c_8&1\\1&1&1&1&1&1&1&1&-c_9\end{bmatrix}$$ A continuación, pon las variables en forma de vector: $$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\\x_7\\x_8\\x_9\end{bmatrix}$$ Por último, toma las constantes a las que equivale la ecuación y ponlas en forma de vector: $$\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$$ Entonces ponlo todo junto en una ecuación: $$\begin{bmatrix}-c_1 &1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-c_2&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&-c_3&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&-c_4&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-c_5&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&-c_6&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&-c_7&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&-c_8&1\\1&1&1&1&1&1&1&1&-c_9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\\x_7\\x_8\\x_9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$$ Esta ecuación es de la forma $Ax=b$ y me referiré a cada pieza de la ecuación como $A$ , $x$ o $b$ de aquí en adelante. Primero, toma $\det(A)$ . Si $\det(A)=0$ entonces comprueba si $b$ está en el espacio de columnas de $A$ . Si no lo es, no hay soluciones, si lo es, hay un número infinito de soluciones. Si $\det(A) \neq 0$ entonces se procede a encontrar la inversa de $A$ . Una vez completado esto, multiplique cada lado por el inverso, y le quedará $x=bA^{-1}$ . Una vez multiplicada la inversa por $b$ las variables se alinearán con las soluciones. Voy a actualizar esto para mostrar cómo hacer estas manipulaciones.

Espero que esto ayude.

Answer 4

Dejemos que

$$\mathrm A := 1_n 1_n^T - \mbox{diag} (1 + c_1, \dots, 1 + c_n)$$

donde $c_i \neq -1$ para todos $i \in \{1,2,\dots,n\}$ . Utilizando el lema del determinante de la matriz ,

$$\det (\mathrm A) = \left( 1 - \sum_{i=1}^n \frac{1}{1 + c_i} \right) (-1)^n \left( \prod_{i=1}^n (1+c_i)\right)$$

Queremos el sistema lineal homogéneo $\mathrm A \mathrm x = \mathrm 0_n$ para tener soluciones no triviales. Así, imponemos la restricción de igualdad $\det (\mathrm A) = 0$ o, de forma equivalente,

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{1 + c_i} = 1$$

Si se cumple esta restricción, mediante una inspección visual, concluimos que todos los puntos de la línea

$$\left\{ \gamma \begin{bmatrix} \frac{1}{1 + c_1}\\ \vdots\\ \frac{1}{1 + c_n}\end{bmatrix} : \gamma \in \mathbb R \right\}$$

son soluciones del mencionado sistema lineal homogéneo.