Cuál es el área del polígono formado por los puntos (x,y) que satisfacen la desigualdad: $ |x| + \frac{|y|}{2} \leq 1$

Question

Tengo una pregunta del SAT II que pregunta: Cuál es el área del polígono formado por los puntos (x,y) que satisfacen la desigualdad: $ |x| + \frac{|y|}{2} \leq 1$

a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 10

¿Cómo se solucionaría esto?

Answer 1

La forma anterior tendrá el doble de área de los puntos que satisfagan $|x|+|y| \le 1$ que es cuatro veces el área de los puntos que satisfacen $x+y \le 1$ y $x,y \ge 0$ . Esto último se ve fácilmente que es ${ 1\over 2}$ por lo que la respuesta es $4$ .

Answer 2

Sugerencia

Divida su gráfico en cuadrantes. En cada uno de ellos, dibuja la región formada. Por ejemplo, en el cuadrante superior derecho tienes el semiplano $x+y/2\le1$ en el cuadrante inferior izquierdo tiene $-x -y/2 \le 1$ y así sucesivamente.

Answer 3

$$|x| + \frac{|y|}{2} \leq 1$$

Se trata de una elipse de geometría de taxi o, mejor aún, de un rombo. Las coordenadas de los vértices son $(0,\pm 2), (\pm 1, 0)$ .

Las longitudes de sus diagonales son $D = 2-(-2) = 4$ y $d=1-(-1) = 2$

Observa que las diagonales dividen el rombo en cuatro triángulos rectángulos congruentes con lados de $\frac 12D$ y $\frac 12d$ y el área de $\frac 18dD$ .

Así que el área del rombo es $4(\frac 18dD) = \frac 12 dD = 4$