Evaluar $\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\frac{xyz}{x^4+y^4+z^4}$

Question

Evaluar el límite si existe $$\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\frac{xyz}{x^4+y^4+z^4}.$$

Si tomamos el camino $x=y=z$ obtenemos

$$\lim_{(x,x,x)\to (0,0,0)}\frac{x^3}{3x^4}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{3x}=\infty$$

¿Basta con demostrar que el límite no existe?

Answer 1

En realidad si $\lim_{(x,y,z)\rightarrow(0,0,0)}f(x,y,z)=L$ existe como número real, entonces $\lim_{x\rightarrow 0}f(x,x,x)$ existe como número real y el límite es $L$ Así que tu razonamiento es sólido al afirmar que $\lim_{(x,y,z)\rightarrow(0,0,0)}f(x,y,z)$ no existe como número real. Si se quiere afirmar que no existe en el sentido de los números reales extendidos, se realiza a otro camino $x=y=-z$ como ha señalado @anishtain4 para conseguir $-\infty$ .

Answer 2

Deberías tomar otro camino también, decir x=y=-z y mostrar que la respuesta sería -infinito, que debería el límite no existe.