Cómo demostrar a $\frac{1}{4}(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a})\ge \sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}}$

Question

Deje $a,b,c,d>0$, muestran que

$$\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}+\dfrac{d^2}{a}\right)\ge \sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4+c^4+d^4}{4}}$$

Sé que esto es muy interesante, la desigualdad,y Mathlinks no de la solución,Gracias por tu ayuda

también puede ver esto:http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=595079

hoy en día,cuando veo esta secretos en inequalitys Volumen 1,(kim Pham Hung) página 205

deje $a,b,c,d>0$ demostrar que $$\sum_{cyc}\dfrac{a^2}{b}\ge 2\sqrt{2}\sqrt[4]{a^4+b^4+c^4+d^4}$$

Yo no puedo probarlo,me puedes ayudar? Gracias

Answer 1

Pregunta:

Dado $a,b,c,d > 0$, muestran que

$$ \frac{1}{4} \left( \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{d} + \frac{d^2}{a} \right) \ge \sqrt[4]{ \frac{a^4 + b^4 + c^4 + d^4 }{4} } $$

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Escribir

$$ Q(x_1,x_2,x_3,x_4) = \frac{1}{4} \left( \frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_3} + \frac{x_3^2}{x_4} + \frac{x_4^2}{x_1} \right) - \left( \frac{ x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4}{4} \right)^\tfrac{1}{4} $$

Encontrar el valor extremo para $Q$:

$$ \frac{\partial Q}{\partial x_k} = \frac{1}{2} \frac{x_k}{x_{|k+1|}} - \frac{1}{4} \frac{x_{|k-1|}^2}{x_k^2} - \frac{1}{4} x_k^3 \left( \frac{ x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4}{4} \right)^{-\tfrac{3}{4}} = 0,\la etiqueta{1} $$

donde $x_{|k\pm1|}$ es el índice cíclico, lo $x_{|0|} = x_4$$x_{|5|} = x_1$. El valor extremo se obtiene por $x_1=x_2=x_3=x_4=x$ y

$$ Q(x,x,x,x) = 0. $$

También tenemos

$$ \frac{\partial^2 P}{\partial x_k^2} = \frac{1}{2} \frac{1}{x_{|k+1|}} + \frac{1}{2} \frac{x_{|k-1|}^2}{x_k^3} + \frac{3}{16} x_k^6 \left( \frac{ x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4}{4} \right)^{-\tfrac{7}{4}} - \frac{3}{4} x_k^2 \left( \frac{ x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4}{4} \right)^{-\tfrac{3}{4}}, $$

y para $x_1=x_2=x_3=x_4=x$ obtenemos

$$ \frac{\partial^2 P}{\partial x_k^2} = \frac{7}{16} \frac{1}{x} \ge 0, $$

por lo tanto

$$ Q(x_1,x_2,x_3,x_4) \ge 0, $$

de dónde

$$\frac{1}{4} \left( \frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_3} + \frac{x_3^2}{x_4} + \frac{x_4^2}{x_1} \right) \ge \left( \frac{ x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4}{4} \right)^\tfrac{1}{4}. $$

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Para mostrar que la solución estacionaria es único.

De la ecuación (1) se sigue que

$$ 2 \frac{x_{k+1}}{x_{k+2}} - \frac{x_{k}^2}{x_{k+1}^2} = \left( 2 \frac{x_{k+2}}{x_{k+3}} - \frac{x_{k+1}^2}{x_{k+2}^2} \right) \frac{x_{k+1}^3}{x_{k+2}^3}. $$

Vamos a definir

$$ \xi_k = \frac{x_k}{x_{k+1}}, $$

a continuación, obtenemos

$$ 2 \xi_{k+1} - \xi_k^2 = \Big( 2 \xi_{k+2} - \xi_{k+1}^2 \) \xi_{k+1}^3, $$

y está claro que $\xi_k = 1$ es una solución. Vamos a escribir

$$ \xi_k = 1 + \phi_k, $$

a continuación, obtenemos

$$ \phi_{k+2} = \frac{ \phi_{k+1}^5 + 5 \phi_{k+1}^4 + 10 \phi_{k+1}^3 + 8 \phi_{k+1}^2 + 3 \phi_{k+1} - \phi_{k}^2 - 2 \phi_k}{ \Big( 1 + \phi_{k+1} \Big)^2 }.\la etiqueta{2} $$

Tenga en cuenta que para $\phi_\jmath > -1$, obtenemos

$$ \begin{eqnarray} \textrm{sgn}\Big( \phi_{k+1}^5 + 5 \phi_{k+1}^4 + 10 \phi_{k+1}^3 + 8 \phi_{k+1}^2 + 3 \phi_{k+1} \Big) &=& \textrm{sgn}\Big(\phi_{k+1}\Big),\\ \textrm{sgn}\Big( \phi_{k}^2 - 2 \phi_k \Big) &=& \textrm{sgn}\Big(\phi_k\Big), \end{eqnarray} $$

dónde tenemos las propiedades

$$ \begin{array}{ccccc} \phi_k \le 0 &\wedge& \phi_{k+1} \ge 0 &\Rightarrow& \phi_{k+2} \ge 0,\\ \phi_k \ge 0 &\wedge& \phi_{k+1} \le 0 &\Rightarrow& \phi_{k+2} \le 0.\\ \end{array} $$

Podemos utilizar estas propiedades para encontrar "válido"ciclos de:

$$ \begin{array}{ccccccccccc} \phi_k = 0 && \phi_{k+1} = 0 &\Rightarrow& \phi_{k+2} = 0 &\Rightarrow& \phi_{k+3} = 0\\ \phi_k = 0 && \color{red}{\phi_{k+1} < 0} &\Rightarrow& \phi_{k+2} < 0 && \phi_{k+3} < 0 && \phi_k = 0 &\Rightarrow& \color{red}{\phi_{k+1} > 0}\\ \color{red}{\phi_k = 0} && \phi_{k+1} < 0 &\Rightarrow& \phi_{k+2} < 0 && \phi_{k+3} > 0 &\Rightarrow& \color{red}{\phi_k > 0}\\ \color{red}{\phi_k = 0} && \phi_{k+1} > 0 &\Rightarrow& \phi_{k+2} > 0 && \phi_{k+3} < 0 &\Rightarrow& \color{red}{\phi_k < 0}\\ \phi_k = 0 && \color{red}{\phi_{k+1} > 0} &\Rightarrow& \phi_{k+2} > 0 && \phi_{k+3} > 0 && \phi_k = 0 &\Rightarrow& \color{red}{\phi_{k+1} < 0}\\ \hline \phi_k < 0 && \phi_{k+1} < 0 && \phi_{k+2} < 0 && \phi_{k+3} < 0\\ \color{red}{\phi_k < 0} && \phi_{k+1} < 0 && \phi_{k+2} < 0 && \phi_{k+3} > 0 &\Rightarrow& \color{red}{\phi_k > 0}\\ \phi_k < 0 && \phi_{k+1} < 0 && \phi_{k+2} > 0 &\Rightarrow& \phi_{k+3} > 0\\ \phi_k < 0 && \color{red}{\phi_{k+1} > 0} &\Rightarrow& \phi_{k+2} > 0 && \phi_{k+3} > 0 && \phi_{k} < 0 &\Rightarrow& \color{red}{\phi_{k+1} < 0}\\ \phi_k > 0 && \color{red}{\phi_{k+1} < 0} &\Rightarrow& \phi_{k+2} < 0 && \phi_{k+3} < 0 && \phi_{k} > 0 &\Rightarrow& \color{red}{\phi_{k+1} > 0}\\ \phi_k > 0 && \phi_{k+1} < 0 &\Rightarrow& \phi_{k+2} < 0 && \phi_{k+3} > 0 &\Rightarrow& \phi_k > 0\\ \phi_k > 0 && \phi_{k+1} > 0 && \phi_{k+2} < 0 &\Rightarrow& \phi_{k+3} < 0\\ \color{red}{\phi_k > 0} && \phi_{k+1} > 0 && \phi_{k+2} > 0 && \phi_{k+3} < 0 &\Rightarrow& \color{red}{\phi_k < 0}\\ \phi_k > 0 && \phi_{k+1} > 0 && \phi_{k+2} > 0 && \phi_{k+3} > 0\\ \end{array} $$

Por lo tanto, sólo tenemos las siguientes válidos ciclos

$$ \begin{array}{cccc} 0&0&0&0\\ -&-&-&-\\ -&-&+&+\\ +&+&+&+\\ \end{array} $$

Sin embargo, los ciclos de

$$ \begin{array}{cccc} -&-&-&-\\ +&+&+&+\\ \end{array} $$

puede ser excluido por $\xi_1 \xi_2 \xi_3 \xi_4 = 1$.

¿Qué queda por demostrar es que el ciclo de $--++$ conduce a contradicción.

A continuación...