Exactitud de la secuencia Mayer Vietoris

Question

Estoy confundido al mostrar que la secuencia es exacta en $A_{n-1}' \oplus B_{n-1}$ . Aquí está parte de mi argumento.

Tenga en cuenta que $(\rho_4+f_5)\circ (f_4,-\delta_4)=\rho_4 \circ f_4-f_5 \circ \delta_4=0$ por conmutatividad del diagrama. Esto demuestra que $\text{im}(f_4,-\delta_4) \subset \text{ker}(\rho_4+f_5)$ . A la inversa, dejemos que $(a',b) \in \text{ker}(\rho_4+f_5)$ . Entonces $\rho_4(a')+f_5(b)=0 \implies f_5(b)=-\rho_4(a')$ .

No tengo ni idea de cómo proceder. ¿Puede alguien darme alguna pista? Gracias.

Answer 1

Es demasiado incómodo llevar la cuenta de los subíndices en los morfismos, así que escribiré escribir todos $\delta_j$ como $\delta$ etc. También asumo que cada $f:C_k\to C'_k$ es un isomorfismo, por lo que en particular $f:C_{n-1}\to C'_{n-1}$ es un isomorfismo.

Usted tiene $f(b)=-\rho(a')$ . Entonces $$0=-\rho(\rho(a'))=-\rho(f(a'))=f(\delta(b)).$$ Como $f:C_{n-1}\to C'_{n-1}$ es un isomorfismo, $\delta(b)=0$ y por la exactitud, $b=-\delta(a^*)$ donde $a^*\in A_{n-1}$ . Entonces $$\rho(f(a^*)-a')=\rho(f(a^*))-\rho(a')=f(\delta(a^*)+b)=0$$ así que $a^*-a'=\rho(c')$ por la exactitud. Entonces $c'=f(c^*)$ desde $f:C_n\to C_n'$ es un isomorfismo, y $a^*-a'=f(\delta(c))$ . Intentaría $-\delta(c)+a^*$ como candidato a elemento de $A_{n-1}$ mapeado a $(a',b)$ .