Es la suma de la serie $\sum \frac{\sin nx^2}{1 + n^3}$ ¿es continuamente diferenciable?

Question

Considere la serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx^2}{1 + n^3}$$ ¿Es su límite continuamente diferenciable?

Tenemos para todos $x \in \mathbb{R}$ , $$ \left|\frac{\sin nx^2}{1 + n^3}\right| \leq \frac{1}{1 + n^3} < \frac{1}{n^3}$$ Por la prueba M de Weierstrass, como $\sum \frac{1}{n^3}$ es convergente, nuestra serie es uniformemente convergente. Por lo tanto, su función límite es continua.

Para demostrar que su límite es continuamente diferenciable, si $f_n(x) = \frac{\sin nx^2}{1 + n^3}$ basta con demostrar que $\sum f_n'$ converge uniformemente en $\mathbb{R}$ , donde $$f_n'(x) = \frac{2nx\cos nx^2 }{1 + n^3}$$ (Como $f_n'$ es continua para cada $n \in \mathbb{N}$ La convergencia uniforme implicaría también que la derivada es continua).

Sin embargo, no sé si esta serie converge uniformemente o no. Tenemos $$ \left|\frac{2nx\cos nx^2 }{1 + n^3}\right| \leq \frac{2n|x|}{1 + n^3}$$ Por la prueba de comparación, podemos concluir que esta serie converge puntualmente. ¿Converge uniformemente? Si no es así, ¿cómo demostramos si la serie original es continuamente diferenciable?

Answer 1

Puedes considerar un conjunto compacto $K=\left[a,b\right]$ con $\left(a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}$ y $a<b$ . La función $\displaystyle x \mapsto \frac{2nx\cos\left(nx^2\right)}{1+n^3}$ es impar y entonces podemos estudiarlo sólo en $\mathbb{R}^{+}$ . Para $x \in K$ ahora tienes $$ \left|\frac{2nx\cos\left(nx^2\right)}{1+n^3}\right| \leq \frac{2nb}{1+n^3} $$ Por lo tanto,

$$ \left\|\frac{2nx\cos\left(nx^2\right)}{1+n^3}\right\|_{\infty,K} \leq \frac{2nb}{1+n^3}\underset{(+\infty)}{\sim}\frac{2b}{n^2} $$

La serie $\displaystyle \sum_{n \geq 1}^{ }\frac{1}{n^2}$ converge, por lo que la serie $\displaystyle \sum_{n \geq 0}^{ }f'_n$ converge normalmente también de manera uniforme en todo conjunto compacto de $\mathbb{R}$ ( recuerda que era impar ). Entonces es diferenciable en $\mathbb{R}$ porque es una propiedad local.