Determinar si R es una relación de equivalencia

Question

Tengo esta pregunta: Considera la relación $R$ entre pares ordenados de números naturales tales que $(a, b)$ está relacionado con $(c, d)$ (indicada por $(a, b) R (c, d)$ ) si y sólo si $ad = bc$ .

Discutir si $R$ es una relación de equivalencia.

Soy bastante nuevo en la teoría de conjuntos y me pregunto si alguien puede explicar cómo se evaluaría si $R$ es una relación de equivalencia (realmente quiero entender cómo para elaborar la respuesta, no sólo la respuesta, ¡gracias!)

Answer 1

• Compruebe la reflexividad: ¿Es el caso que para todos los $(a, b)\in \mathbb N\times \mathbb N$ es cierto que $(a, b) R (a, b)$ ? Es decir, ¿es cierto que para todos esos $(a, b)$ , $ab = ba$ ?

• Comprueba la simetría: ¿Es el caso que para todos los $(a, b), (c, d) \in \mathbb N\times \mathbb N,$ que si $(a, b) R (c, d)$ entonces $(c, d) R (a, b)$ ? Esto significa que si $ad = bc,$ ¿es cierto que $cb = da$ ?

• Comprobar la transitividad : ¿Es cierto que para todos los $(a, b), (c, d), (e, f) \in \mathbb N\times \mathbb N,$ que si $(a, b) R (c, d)$ y $(c, d) R (e, f)$ entonces se deduce que $(a, b) R (e, f)?$ Tenemos que demostrar que $$(ad = bc \text{ and } cf = de) \implies af = be$$ Esto es ligeramente (muy ligeramente) complicado, pero un poco de álgebra da el resultado deseado:

  Supongamos que sabemos que $(a, b) R (c, d)$ y $(c, d) R (e, f)$ . Entonces, por la definición de $R$ sabemos que $ad = bc$ y $cf = de$ . Entonces $adcf = bcde$ y así cancelar los factores $c, d$ en cada lado de la ecuación nos da $af = be$ como se desea, ya que esto significa $(a, b) R (e, f)$ . Por lo tanto, la transitividad se mantiene.

Si las tres propiedades se mantienen para $R$ (si puede responder afirmativamente a todas las preguntas anteriores), entonces $R$ es una relación de equivalencia.