¿Por qué es $\frac{x}{\| x \|}$ ¿un vector unitario?

Question

Dejemos que $x$ sea un vector en $\mathbb{R}^n$ . ¿Por qué es $\frac{x}{\| x \|}$ un vector unitario, para $x\neq 0$ ?

Si intento simplificarlo, obtengo lo siguiente: $\frac{x}{\sqrt{x \cdot x}}$ y no estoy seguro de cómo proceder.

Así que estoy buscando una prueba o explicación de por qué es un vector unitario.

Answer 1

Una pista: Demuestre que para cualquier $\lambda\in\mathbb{R}$ y cualquier $x\in\mathbb{R}^n$ tenemos $$\|\lambda x\|=|\lambda|\cdot\|x\|.$$ ¿En qué se convierte esto cuando $x\neq 0$ y $\lambda=\frac{1}{\|x\|}$ ?

Answer 2

Aplicar la norma $\|\cdot\|$ a este vector. Se obtiene $\left\| \frac x {\|x\|} \right\|$ . Por una de las propiedades de una norma esto es lo mismo que $\frac 1 {\|x\|} \|x\| = 1.$

Answer 3

En primer lugar, tenemos $$ \langle x,x\rangle=\|x\|^2 $$ Como el producto interior es bilineal, obtenemos $$ \left\langle\frac{x}{\|x\|},\frac{x}{\|x\|}\right\rangle=\frac{\|x\|^2}{\|x\|\,\|x\|} $$