Relación entre las teorías de campo conformes y topológicas

Question

La teoría de Chern-Simons (CS) es una teoría cuántica de campos topológicos (TQFT).

1. La pregunta es: ¿es una teoría de campos conformes (CFT) una teoría cuántica topológica?

2. O al revés, ¿la teoría cuántica de campos topológica es una CFT?

3. ¿Qué es un teoría del campo conforme (CFT)?

Answer 1

Una transformación conforme es aquella que altera la métrica hasta un factor, es decir

$$g_{\mu\nu}(x)\to\Omega^2(x)g_{\mu\nu}(x)$$

Una teoría de campo descrita por un Lagrangiano invariante hasta una derivada total bajo una transformación conforme se dice que es una teoría del campo conforme . Estas transformaciones incluyen

• Escalas o dilataciones $x^\mu \to \lambda x^\mu$
• Rotaciones $x^\mu \to M^\mu_\nu x^\nu$
• Traducciones $x^\mu \to x^\mu + c^\mu$

Además de éstas, el grupo conforme incluye un conjunto de transformaciones conformes especiales dadas por,

$$x^\mu \to \frac{x^\mu-b^\mu x^2}{1-2b \cdot x + b^2 x^2}$$

Si se calculan los generadores de las transformaciones conformes, y el álgebra que satisfacen, con alguna manipulación se puede demostrar que existe un isomorfismo entre el grupo conforme en $d$ dimensiones y el grupo $SO(d+1,1)$ . En dos dimensiones, el grupo conformacional es bastante especial; es simplemente el grupo de todos los mapas analíticos; este conjunto es de dimensiones infinitas ya que se requiere un número infinito de parámetros para especificar todas las funciones analíticas en alguna vecindad. La variedad global de transformaciones conformes, es decir, las que no son funciones de las coordenadas sino constantes, en $d=2$ equivalen a $SL(2,\mathbb{C})$ .

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Por otro lado, una teoría de campo topológica es aquella que es invariante bajo todas las transformaciones que no alteran la topología del espaciotiempo, por ejemplo, no pueden perforarlo y aumentar el género. Las funciones de correlación no dependen de la métrica, y son de hecho invariantes topológicas.

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Por lo tanto, una teoría de campo topológica es invariante bajo transformaciones conformes por el hecho de que ni siquiera depende de la métrica. Sin embargo, no todas las teorías de campo conformes son teorías de campo topológicas.

Answer 2

A grandes rasgos, cada parte quiral de una CFT racional da una teoría TFT. Por ejemplo, para los modelos WZW, las partes quirales son álgebras de corriente. La TFT correspondiente es la teoría de Chern-Simons.

La cuestión es que la representación de una CFT racional quiral es una categoría tensorial modular. A partir de una categoría tensorial modular se puede construir una TFT 3D mediante la construcción de Reshetikhin-Turaev.

A la inversa, a partir de una CFT racional quiral dada $V$ Fuchs-Runkel-Schweigert utilizó la TFT asociada para construir (todas) las CFT 2D que tienen $V$ como partes quirales. Dan una construcción de todas las funciones de correlación en una superficie de Riemann arbitraria utilizando la TFT.