Demostrar que $S=\{ A\in GL_n(K)\mid AJA^t=J\}$ es un subgrupo de $GL_n(K)$ , donde $J\in K^{n\times n}$ .

Question

Tengo una pregunta sobre el siguiente problema: demuestre que $$S=\{ A \in GL_n(K) \mid AJA^t = J \}$$ es un subgrupo de $GL_n(K)$ , donde $J\in K^{n\times n}$ .

He demostrado que el elemento de identidad $e$ forma parte de $S$ pero no sé cómo demostrar el segundo criterio para un subgrupo. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Supongamos que $A,B \in S$ . Esto significa que $A,B \in GL_n(K)$ y $AJA^t = BJB^t = J$ . Deseamos mostrar $AB \in S$ . Tenemos $AB \in GL_n(K)$ y $$(AB)J(AB)^t = (AB)J(B^tA^t) = A(BJB^t)A^t = AJA^t = J$$ Así que, en efecto $AB \in S$ .

Answer 2

Utilizaré el prueba de subgrupos de un solo paso .

Claramente $\varnothing\neq S\subseteq GL_n(K)$ .

Dejemos que $A,B\in S.$ Entonces $AJA^t=J=BJB^t$ . Observe que $$\begin{align} B^{-1}J(B^t)^{-1}&=B^{-1}BJB^t(B^t)^{-1}\\ &=J. \end{align}$$

Nuestro objetivo es demostrar que $AB^{-1}\in S$ . De hecho,

$$\begin{align} (AB^{-1})J(AB^{-1})^t&=(AB^{-1})J((B^{-1})^tA^t)\\ &=A(B^{-1}J(B^t)^{-1})A^t\tag{1}\\ &=AJA^t\\ &=J. \end{align}$$

Por lo tanto, $S\le GL_n(K)$ .

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$(1)$ : Ver aquí .