¿Cuántas formas hay de dividir 100 bolas en dos celdas, de manera que en la primera celda debe haber al menos $2$ bolas, mientras que en la otra celda debe haber un número par de bolas.
Quiero resolverlo utilizando funciones generadoras.
Primero, presentaremos cada demanda como un polinomio:
$$({x^2} + {x^3} + {x^4} + ...)({x^0} + {x^2} + {x^4} + ...)$$
Ahora vamos a presentar esos términos como una serie de potencias (me he saltado un paso aquí):
$$\frac{{{x^2}}}{{{{(1 - x)}^2}(1 + x)}}$$
Utilizando este "método de las fracciones" (no recuerdo su nombre formal):
$$\frac{{{x^2}}}{{{{(1 - x)}^2}(1 + x)}} = \frac{A}{{{{(1 - x)}^2}}} + \frac{B}{{(1 + x)}}$$
Tenemos que $A={1\over 2}$ y $B={1\over 4}$ .
Recordamos que al dividir por $(1-x)$ produce la "serie de sumas parciales". Por lo tanto,
$${F_1} = \frac{1}{{2{{(1 - x)}^2}}} = \frac{1}{2}\left\{ {1,2,3,4...} \right\}$$
$${F_2} = \frac{1}{{4(1 + x)}} = \frac{1}{{4(1 - ( - x))}} = \frac{1}{4}\left\{ { - 1,1, - 1,1...} \right\}$$
¿Estoy en lo cierto hasta ahora?
¿Cómo extraer el número de posibilidades de esas dos funciones generadoras? (Soy nuevo en esto, lo siento si es una pregunta de novato).
